Cours maths 4ème

Triangle rectangle et cercle circonscrit


Mise à jour le 21 septembre 2016  |  Signalez une ERREUR

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Cours sur le triangle rectangle et cercle circonscrit.

1.Cercle circonscrit à un triangle rectangle :

Définition :

Le cercle circonscrit à un triangle ABC est le cercle passant par les trois sommets A, B, C

Activité :

Construire un triangle ABC rectangle en C.

Placer le milieu I du coté [AB].

Construire le point D symétrique du point C par rapport au point I.

– Démontrer que le quadrilatère ACBD est un rectangle ;

– Tracer le cercle de centre I et de rayon IB ;

– Que peut-on dire de ce cercle ?

Propriété directe:

Si ABC est un triangle rectangle en C

alors

ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB] et de centre I milieu de [AB].


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Définition :

Le segment [AB] est appelé hypoténuse du triangle ABC.

Propriétés de l’hypoténuse :

– l‘hypoténuse d‘un triangle rectangle est le coté opposé à l‘angle droit.

– L‘hypoténuse est le coté de plus grande longueur.

Propriété de la médiane :

Si un triangle est rectangle alors l‘hypoténuse a pour longueur le

double de celle de la médiane issue du sommet de l‘angle droit.


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Preuve :

Soit ABC rectangle en C

I est le milieu de [AB]donc I est le centre du cercle circonscrit au triangle

donc [AB] est le diamètre du cercle circonscrit au triangle

donc IA = IB = IC (car ce sont des rayons) donc AB = 2xIC.

Exercice:

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que

AB=5 cm,AC=3 cm et BC=4 cm.

1. Construire ce triangle puis son cercle circonscrit.

2. Construire la médiane issue du sommet C et du sommet A.

3. Calculer le rayon du cercle circonscrit et la longueur de la médiane issue de C.

2.Triangle inscrit dans un cercle :

Activité :

– Tracer un segment [AB], et placer son milieu I.

– Tracer le cercle de diamètre [AB].

– Placer un point C sur ce cercle, distinct de A et B.

– Quel est le centre du cercle circonscrit

au triangle ABC ?

– Construire le point D symétrique du point C par

rapport au point I.

– Démontrer que le quadrilatère ACBD

est un rectangle.

– Que peut-on en conclure pour le triangle ABC ?

Propriété réciproque :

Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle

et un de ses côtés est un diamètre (ex :[AB])

alors ce triangle est rectangle (ex : en C)

et l‘hypoténuse est le segment [AB].

Exercice :

On réalise la figure suivante avec un cercle de rayon 7 cm.


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-Quelle est la nature du triangle PIL ?( à justifier).

– Quelle est la valeur de PO ?( à justifier).

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