Cours maths terminale

Le théorème de Gauss


Le mercredi 20 septembre 2017  |  Signalez une ERREUR  | 
cours de maths en terminale https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/cours-maths-terminale.png https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/cours-maths-terminale-150x150.png0 https://www.mathovore.fr/theoreme-de-gauss#respond
379

Un cours d’arithmétique sur le théorème de Gauss en terminale S spécialité.

I.Enoncé du théorème de Gauss

Théorème :

a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.Alors a divise c.

Autrement dit : si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre.

Démonstration :

Puisque a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe des entiers relatifs

u et v tels que au+bv=1.Donc (ac)u+(bc)v=c.Or a divise ac et bc donc a divise acu + bcv.

Il en résulte que a divise c.

II.Corollaire du théorème

Si un entier n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

Démonstration :

Par hypothèse, n=aq et n=bq’ avec q et q’ deux entiers naturels.Donc aq=bq’.

Puisque b divise aq et que b est premier avec a, il divise q.

Donc q=bp et n=abp.

On conclut que le produit ab divise n.

Généralisation :

Si n est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux deux à deux, n est divisible par leur produit.

Exemple :

Si un nombre est divisible par 3,7 et 11, alors il est divisible par 231 car 3,7 et 11 sont des entiers premiers entre eux deux à deux.

Application :

Pour prouver, par exemple, qu’un nombre est divisible par 6, il suffit de prouver qu’il est divisible par 2 et 3 car 2 et 3 sont premiers entre eux.

Ainsi pour tout entier naturel n>1, (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

En effet, n(n+1) est le produit de deux entiers consécutifs : il est donc divisible par 2.

et (n-1)n(n+1) est le produit de trois entiers consécutifs : il est donc divisible par 3.

Il en résulte que (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

Attention :

Théorème de GaussL’hypothèses a et b premiers entre eux est une hypothèse essentielle.

Si on démontre qu’un nombre est divisible par 4 et 6, on peut seulement conclure qu’il est divisible par 12, et non pas par 24.Ainsi 36 est divisible par 4 et 6, mais n’est pas divisible par 24.

D'autres documents similaires


Les derniers topics du forum

Retrouvez les derniers topics ajoutés et des demandes d'aide formulées par les élèves. Une communauté dynamique d'aide en ligne qui vous permettra de résoudre vos exercices, DM ou de résoudre un problème dont vous n'arrivez pas à trouver la solution.



Inscription gratuite à Mathovore. Rejoignez les 118332 Mathovoristes, inscription gratuite.

https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/cours-maths-terminale.png>