Suite encadrement


Suite encadrement Niveau : terminale
Posté par Lashar

Lashar

Bonjour, je suis complètement bloquée avec un exercice de mon devoir.. Si quelqu'un pouvait m'aider s'il-vous-plait 

Voici l'énoncé : 
On admet l'encadrement (E) : "pour tout réel x appartient à [0 ; pi], x - (x^3/6) inférieur ou égale à sin x inférieur ou égale à x ». On pose pour tout n appartenant à N*, un = sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2) et vn = 1/n^2 + 2/n^2 + … + n/n^2 . L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (Un). 

1) Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n appartenant à N* , un inférieur ou égale à vn 
2) A) Justifier que pour tout n appartenant à N*, 1^3+2^3+…+n^3 inférieur ou egale à n^4 
     B) En déduire, à l'aide de l'encadrement (E), que, pour tout n appartenant à N* , vn -(1/6n^2) inférieur ou egale à un. 
3) Montrer que lim(n -> +inifini) vn = 1/2. En déduire que la suite (un) est convergente vers un réel que l'on précisera. 

Merci pour l'aide apportée en avance car je suis vraiment perdue avec cet exercice.


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Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 18:44

Posté par mariepour | Administrateur du forum de maths Admin235 points


mariepour

Bonjour

Mon message s'est effacé, je reprends

tu remarques que

\frac{1}{n^2}\,\leq\,\frac{2}{n^2}\,\leq..........\leq\,\frac{n}{n^2}\leq1\leq\pi

Tu peux donc utiliser (E), plus particulièrement

\sin\,x\,\leq\,x

Donc

\sin\,\frac{1}{n^2}\leq\,\frac{1}{n^2}

compares ainsi tous les  termes de u_n et v_n , puis tu ajoutes membre à membre



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 18:49

Posté par mariepour | Administrateur du forum de maths Admin235 points


mariepour

Pour le 2, remarque que

n^4=\,n\,\times \,n^3=\,n^3+n^3+..........+n^3 répété n fois

puis tu compares

1^3\leq\,n^3.................



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 19:25

Posté par Lashar4 points


Lashar

C'est vraiment floue pour moi..

En gros je dois commencer en écrivant 1/n^{2} - (1/n^{2})^3/6 <= sin1/n^{2} <= 1/n^{2}

2/n^{2} - (2/n^{2})^3/6 <= sin2/n^{2} <= 2/n^{2}

3/n^{2} - (3/n^{2})^3/6 <= sin3/n^{2} <= 3/n^{2}

En gros je suis vraimenrt perdue..



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 19:30

Posté par Lashar4 points


Lashar

C'est vraiment floue pour moi..

En gros je dois commencer en écrivant 1/n^{2} - (1/n^{2})^3/6 <= sin1/n^{2} <= 1/n^{2}

2/n^{2} - (2/n^{2})^3/6 <= sin2/n^{2} <= 2/n^{2}

3/n^{2} - (3/n^{2})^3/6 <= sin3/n^{2} <= 3/n^{2}

En gros je suis vraimenrt perdue..



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 19:31

Posté par Lashar4 points


Lashar

C'est vraiment floue pour moi..

En gros je dois commencer en écrivant 1/n^{2} - (1/n^{2})^3/6 <= sin1/n^{2} <= 1/n^{2}

2/n^{2} - (2/n^{2})^3/6 <= sin2/n^{2} <= 2/n^{2}

3/n^{2} - (3/n^{2})^3/6 <= sin3/n^{2} <= 3/n^{2}

En gros je suis vraimenrt perdue..



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 19:44

Posté par mariepour | Administrateur du forum de maths Admin235 points


mariepour

sin\frac\,{1}{n^2}\leq\,\frac\,{1}{n^2}\\\,sin\frac\,{2}{n^2}\leq\,\frac\,{2}{n^2}\\

..............................

sin\frac\,{n}{n^2}\leq\,\frac\,{n}{n^2}\\

tu ajoutes membre à membre.

ça te fais:sin\frac\,{1}{n^2}+sin\frac\,{2}{n^2}.......

Pour le moment tu n'utilises que sinx\leq\,x



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 21:22

Posté par mariepour | Administrateur du forum de maths Admin235 points


mariepour

le code ne passe pas correctement, je retenterai demain.

Passe une bonne soirée



Suite encadrement Posté le 11/10/2018 - 21:28

Posté par Lashar4 points


Lashar

Merci beaucoup de vouloir bien m'aider ! A demain j'espère :)



Suite encadrement Posté le 12/10/2018 - 07:25

Posté par mariepour | Administrateur du forum de maths Admin235 points


mariepour

Bonjour.

Pour le moment , tu n'utilise que la deuxième partie de l'encadrement. C'est à dire

\sin\,x\leq\,x    . pour toi, x vaudra

\frac{1}{n^2}   ou \frac{2}{n^2}   ou  \frac{3}{n^2}   ou ..........ou \frac{n}{n^2}

Pour avoir le droit d'utiliser l'encadrement, il faut que  0\,\leq\,x\leq\,\pi

Tu remarques donc que 0\,\leq\,\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n^2}\leq......\leq\,\frac{n}{n^2}\leq1\leq\pi



Suite encadrement Posté le 12/10/2018 - 07:37

Posté par mariepour | Administrateur du forum de maths Admin235 points


mariepour

c'est bon, tu peux donc utiliser l'encadrement.

ensuite tu compares un par un les termes de u_n et de v_n

\sin\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n^2}\\\,\sin\frac{2}{n^2}\leq\frac{2}{n^2}

................................

\sin\frac{n}{n^2}\leq\frac{n}{n^2}\\

Tu ajoute ensuite les termes des gauche, et tu les compares à la somme de ceux de doite.

ça te donne u_n\leq\,v_n

Ne te laisse pas impressionner, ce  n'est pas dur, il faut juste être rigoureuse.




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