Cours maths terminale

Suite de matrices colonnes


Mise à jour le 16 octobre 2016  |  Signalez une ERREUR

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Un cours sur les suites de matrices en terminale S spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice.

I.Suite de nombres (Un) vérifiant $$\,U_{n+1}=aUn+b$$.

Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine).

Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par $$\,U_0=12$$ et pour tout entier naturel n, $$\,U_{n+1}=0,2U_n+4$$.

1. De la formule de récurrence à la formule explicite.

Observons que si la suite (Un) converge, alors sa limite x est solution de l’équation x=0,2x+4.

Cette équation a pour solution x=5.Cela suggère de poser : pour tout entier naturel n, $$\,x_n=u_n-5$$.

De $$\,U_{n+1}=0,2U_n+4$$ et $$\,5=0,2\,\times \,5+4$$, on déduit par soustraction  : $$\,U_{n+1}-5=0,2(U_n-5)$$.

Soit $$\,x_{n+1}=0,2x_n$$.La suite $$\,(x_n)$$ est géométrique de raison a = 0,2 et de premier terme $$\,x_0=u_0-5=7$$.

D’où pour tout entier naturel n, $$\,x_{n}=\,x_0\times \,0,2^n=\,7\times \,0,2^n$$.

Ainsi $$\,u_n-5=\,7\times \,0,2^n$$ donc $$\,u_n\,=\,7\times \,0,2^n+5$$.

2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

On considère une suite de nombre (Un) qui vérifie $$\,U_{n+1}=aUn+b$$, avec $$\,a\neq1$$.

  1. On résoud l’équation $$\,x=ax+b$$ : elle a une solution unique c.
  2. On introduit la suite auxiliaire $$\,(x_n)$$définie par $$\,x_n=u_n-c$$.On prouve qu’elle est géométrique de raison a.; il en résulte que pour tout naturel n, $$\,x_n=x_0a^n$$ .
  3. On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n, $$\,u_n=x_n+c$$.D’où l’expression : $$\,u_n=a^n(u_0-c)+c$$

3.Etude de la convergence

Sur notre exemple, la raison a=0,2 est telle que – 1<a<1 donc $$\,\lim_{n\,\mapsto \,+\infty\,}0,2^n=0$$.

Ainsi, $$\,\lim_{n\,\mapsto \,+\infty\,}u_n=5$$.

Si on applique cette méthode dans le cas général, on obtient le résultat suivant :

Théorème :

Une suite de nombres (Un) vérifie $$\,U_{n+1}=aUn+b$$, avec -1<a<1.

Alors la suite (Un)  converge vers le nombre c  vérifiant c = ac+b.

Ce résultat découle de la formule explicite et de la condition -1<a<1, car alors, $$\,\lim_{n\,\mapsto \,+\infty\,}a^n=0$$.

Remarque :

On démontre que, si $$\,a\leq\,\,-1$$ ou a>1, la suite est divergente (hormis le cas particuliers où $$\,u_0=c$$, auquel cas elle est constante.

II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant $$\,U_{n+1}=AU_n+B$$.

Etudions un exemple.La suite de matrices colonne (Un) de format (2,1) est définie par :

$$\,U_0=\begin{pmatrix}\,3$$
$$\,-2\,\end{pmatrix}$$ et pour tout entier naturel n, $$\,U_{n+1}=AU_n+B$$ où $$\,A=\begin{pmatrix}\,1\,4\,$$
$$1\,\,2\,\end{pmatrix}$$ et $$\,B=\begin{pmatrix}\,12$$
$$-2\,\end{pmatrix}$$.

1.De la formule de récurrence à la formule explicite.

Inspirons-nous de la méthode précédente.Cherchons une matrice colonne C de format (2,1), telle que C=AC+B.Cette équation d’inconnue C s’écrit C-AC=B, c’est-à-dire (I-A)C=B.

Si I-A est inversible, multiplions à gauche les deux membres par $$\,(I-A)^{-1}:C=(I-A)^{-1})B$$.

Or $$\,I-A=\begin{pmatrix}\,0\,-4\,$$
$$\,-1\,-1\,\end{pmatrix}$$,cette matrice est inversible et $$\,(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}\,0,25\,-1\,$$
$$\,-0,25\,0\,\end{pmatrix}$$

donc $$\,C=\begin{pmatrix}\,5$$
$$-3\,\end{pmatrix}$$.

De $$\,U_{n+1}=AU_n+B$$ et C=AC+B, on déduit par soustraction : $$\,U_{n+1}-C=A(U_n-C)$$.

Poson alors, pour tout entier naturel n, $$\,X_n=U_n-C$$; on obient $$\,X_{n+1}=AX_n$$ (1).

Démontrons par récurrence que l’égalité $$\,X_{n}=A^nX_0$$ (2) est vraie pour tout entier naturel n.

  • Pour n=0, l’égalité (2) est vraie car $$\,A^0=I$$.
  • Si $$\,X_{n}=A^nX_0$$ alors en multipliant à gauche les deux membres par $$\,A$$, on obtient $$\,AX_{n}=A^{n+1}X_0$$, c’est-à-dire d’après (1), $$\,X_{n+1}=A^{n+1}X_0$$.Ainsi, l’égalité  (2) est héréditaire.
  • On conclut que pour tout entier naturel n, $$\,X_{n}=A^nX_0$$.

Revenons à la suite $$\,(U_n)$$ : pour tout entier naturel n, $$\,U_{n}-C=A^n(U_0-C)$$ d’où $$\,U_{n}=A^n(U_0-C)+C$$.

2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

Une suite de matrices colonnes $$\,(U_n)$$ vérifie $$\,U_{n+1}=AU_n+B$$ où $$\,I-A$$ est inversible.

  1. On résout l’équation l’équation C=AC+B; elle admet une unique solution $$\,C=(I-A)^{-1})B$$.
  2. On introduit la suite auxiliaire $$\,(X_n)$$ définie par $$\,X_n=U_n-C$$.On prouve qu’elle vérifie, pour tout entier naturel n, $$\,X_{n+1}=AX_n$$ puis par récurrence que $$\,X_{n}=A^nX_0$$.
  3. On revient à la suite initiale: pour tout entier naturel n, $$\,U_n=X_n+C$$.D’où l’expression $$\,U_{n}=A^n(U_0-C)+C$$.

3. Suites de matrices lignes

Si $$\,(U_n)$$ est une suite de matrices lignes de même format telle que $$\,V_{n+1}=V_nA+B$$, où $$\,A$$ est une matrice carrée et $$\,B$$ une matrice ligne, on obtient des résultats analogues :  si $$\,I-A$$ est inversible, l’équation $$\,C=CA+B$$ a une solution unique $$\,C=B(I-A)^{-1}$$.

Alors pour tout naturel n, $$\,V_{n}=(V_0-C)A^n+C$$.

III. Convergence d’une suite de matrice

Définition :

$$\,(U_n)$$ est une suite de matrices de format donné, L est une matrice de même format.Dire que la suite $$\,(U_n)$$ a pour limite L, signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de $$\,(U_n)$$  a pour limite le coefficient de L.

On dit aussi que $$\,(U_n)$$ converge vers L.

Exemple :

$$\,U_n=\begin{pmatrix}\,3+0,2^n$$
$$2-0,5^n\,$$
$$\,7+0,3^n\,\end{pmatrix}$$ converge vers la matrice $$\,\begin{pmatrix}\,3$$
$$2\,$$
$$\,7\,\end{pmatrix}$$.

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