Exercices à prise d'initiatives et problèmes ouverts

Série 3 des problèmes ouverts du collège au lycée


Mise à jour le 24 août 2015  |   Signalez une ERREUR  | 

exercices de maths https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/casse-tete.jpg https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/casse-tete-300x300.jpg0 https://www.mathovore.fr/serie-problemes-ouverts-college-lycee#respond
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La série des problèmes ouverts de maths afin de réfléchir sur des exercices complexes avec un travail individuel ou en groupe.Ces exercices développe l’esprit d’initiative et le raisonnement scientifique pour les élèves du collège et du lycée.

LE CHAMP PIGNON ET LES PRÉS D’ILEXION

Dans la commune rurale de Triangle, le cadastre ne comporte que des parcelles triangulaires (voir extrait de ce cadastre ci-dessous).

Monsieur Ilexion possède trois parcelles dont il connaît bien les superficies, qui sont respectivement égales à 420 m², 30 m², et 60 m².

Mais quelle est donc la superficie du Champ Pignon?

Les briques :

Deux briques identiques (dimensions en projection 20 cm × 10 cm) sont disposées comme indiqué sur le dessin.
La distance AB est 8 cm.


A quelle distance du sol est le point C?

Maisons et allumettes :

Combien d’allumettes sont nécessaires pour construire ces maisons à l’étape 5 ? 16 ? 256 ?

Combien d’étapes  peut-on effectuer avec 1 465 allumettes ?

Madame Tymar et sa piscine :

Madame Tymar décide d’implanter une piscine enterrée dans son jardin.

Voici une vue de dessus de son bassin :

Pour des raisons de sécurité, elle veut recouvrir la piscine d’une bâche.

Un commercial lui propose deux tarifs :

                     – Tarif A : 3€ le m² de bâche et 150€ de pose;

                     – Tarif B : un forfait bâche+pose à 399€.

Il indique à sa cliente que pour la fixation, la surface de bâche doit être de 10% supérieure à celle de la piscine.

Problématique : quel tarif sera le plus avantageux pour madame Tymar?

VOYAGE EN TRAIN :

En Transalpie des trains quittent Mathépolis toutes les heures

sonnantes (00 minute) en direction de Géocity. D’autres trains quittent
aussi Géocity toutes les heures sonnantes en direction de Mathépolis.
La durée du trajet est exactement de 10 h pour tous les trains.
Pendant son trajet, combien chaque train croise-t-il de trains
roulant en sens inverse ?
En tout il y a donc 9 + 1 + 9 = 19 trains rencontrés.
Indication :

ALADIN ET LE TRESOR D’ALI BABA :

Aladin est sur les traces du trésor d’Ali Baba. À un certain moment, il se trouve devant une

bifurcation d’où partent deux sentiers dont l’un conduit à la grotte au trésor et l’autre dans le désert.
Aladin ne sait pas lequel choisir.
L’un des deux sentiers porte des marques jaunes, l’autre des marques rouges. Les deux sentiers sont
surveillés par deux étranges personnages dont on sait que l’un dit toujours la vérité et l’autre ment
toujours. Aladin ne se décourage pas, il s’engage sur le sentier jaune et quand il rencontre le
gardien, il lui dit :
– S’il vous plaît, répondez à ma question par oui ou par non :
Si je demandais à votre ami qui surveille le sentier rouge si c’est son sentier qui conduit au trésor,
que me répondrait-il ?
Selon la réponse obtenue, Aladin est certain de pouvoir comprendre quel est le sentier qui conduit
au trésor.
Comment Aladin peut-il trouver le sentier qui conduit au trésor ?

UN DIAMANT POUR GUINNESS :

Un précieux diamant de dimensions et d’une brillance

exceptionnelles est exposé dans le musée LUX.
Pour le protéger, on a construit une boîte de verre en forme de
cube de 10 cm d’arête qui le contient exactement, de façon à ce
que chaque sommet du diamant soit au centre d’une face.
Pour proposer ce diamant au « Guinness », il faut donner son
volume.
Calculez son volume (en cm^3).
 
Donc le volume du polyèdre est le 1/6 du volume du cube :
V= 1000/6 = 500/3 ≈167 (in cm3)

PETIT DEJEUNER AUX CEREALES :

En prenant son petit-déjeuner, Obélix observe son paquet de « Muesli » et y lit le tableau suivant :

Comme Obélix est un peu enveloppé, il est très conscient qu’il ne doit pas forcer sur les calories et
sur les lipides en particulier. Il se demande quelle quantité d’énergie et combien de lipides contient
son bol dans lequel il met chaque matin un paquet entier de 375 grammes de Muesli et 1 litre de lait
écrémé, de 1005 grammes.
Faites les calculs détaillés et déterminez la valeur énergétique et la quantité de lipides du petitdéjeuner
d’Obélix.
Donnez les réponses arrondies au kiloJoule (kJ) et kilocalorie (kcal) pour l’énergie et au
dixième de gramme (g) pour les lipides.
 
A de la tâche
– Déterminer la valeur énergétique du bol d’Obélix en kJ pour les céréales 375 x 718/40 = 6731,25 et pour le lait
1005 x 236/125 = 1897,44 kJ, c’est-à-dire une somme de 8628,69 kJ qui est arrondie à 8629 kJ.
– Vérifier la proportionnalité entre les énergies en kJ et en kcal et déterminer le coefficient à utiliser à partir des
rapports donnés : 718/171 = 4,1988… ; 236/56 = 4,2142… ; 954/227 = 4,2026… et vérifier que le rapport utilisé pour
effectuer les transformations est 4,2.
– Transformer avec ce rapport moyen 4,2 la valeur énergétique des kJ en kcal : 8 628,69 / 4,2 = 2 054,45 ≈ 2 054 kcal
ou avec l’arrondi précédent : 8 629/4,2 = 2 054,29 ≈ 2 054. (En utilisant l’un ou l’autre des rapports donnés, on obtient :
8 628,69 x 171/718 = 2055 ; 8 628,69 x 56/236 = 2047,5 ; 8 628,69 x 227/954 = 2053,15)
ou faire directement le calcul en kcal : 375 x 171/40 + 1005 x 56/125 = 2 053,36. On peut donc donner 2 054 kcal à 1
kcal près, considérant le deuxième rapport donné dans le tableau comme très approximatif.
– Procéder de la même manière pour les lipides et trouver : 375 x 5,8/40 ≈ 54,4 g pour les céréales et
1005 x 2,0/125 ≈ 16,1 g pour le lait, et par addition, 70,5 g pour tout le petit-déjeuner.
FACTORIELLES:
 Anne, Berthe et Claire observent ce tableau de nombres, découvert dans les dernières pages d’un
vieux manuel de mathématiques :
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7= 5 040
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320
9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362 880
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800
11! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 = 39 916 800
12! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 = 479 001 600
13! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 = 6 227 020 800
14! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 = 87 178 291 200
Anna dit : selon moi, le dernier nombre de la ligne 22! se terminera par quatre zéros.
Berthe dit : selon moi le dernier nombre de la ligne 27! se terminera par cinq zéros.
Claire dit : non, selon moi, le dernier nombre de la ligne 27! se terminera par six zéros.
Et vous, qu’en pensez-vous ?
Dites si les affirmations de chacune des trois amies sont vraies ou fausses, et pourquoi.
 
Il y a 6 facteurs 5, d’où 6 chiffres 0 en fin de 27!

LE CHAMP DE GRAND-PERE :

 Un grand père offre à ses cinq petits-enfants un champ de
forme carrée divisé en cinq parcelles, un carré et quatre
triangles, telles que la longueur des côtés du carré situé au
centre est égale à celle des petits côtés de chacun des quatre
triangles. (Voir figure ci-dessous)
Indication :
Selon vous, les cinq parcelles ont-elles la même aire ?
LE MANÈGE :

À la fête sur la Grand Place, le manège préféré des enfants est formé par deux plates-formes

circulaires comme sur le dessin. La plate-forme C1, de 8 m de diamètre est fixe ; la plate-forme C2,
de 3 m de diamètre sur laquelle les enfants s’assoient, roule sans glisser sur C1 dans le sens des
aiguilles d’une montre en tournant autour de son axe.
Léo s’est assis sur le siège S.

BALLON DE FOOTBALL :

Un ballon de football est formé de 12 pentagones réguliers et de 20

hexagones réguliers maintenus entre eux par des coutures.
Leurs côtés mesurent tous 4,5 cm.
Quelle est la longueur totale des coutures ?
longueur de la couture : 90 x 4,5 cm, soit 405 cm

LA BOÎTE DE CUBES :

 François a une boîte en forme de parallélépipède rectangle de
dimensions intérieures13 cm, 8 cm et 7 cm.
Il dispose de nombreux cubes en bois,
les uns de 2 cm d’arête, les autres de 1cm d’arête.
François veut remplir complètement la boîte avec le moins
possible de cubes.
Combien doit-il en mettre de chaque sorte ?

LES FIGURES D’ANDREA :

Andrea a dessiné plusieurs figures en utilisant seulement des arcs de cercles :

Voici ses dessins.
En observant ses figures, Andrea se rend compte avec étonnement que certaines ont le même
périmètre.
Quelles sont les figures d’Andrea qui ont le même périmètre ?
BISCUITS :
Voici les biscuits que le pâtissier a préparés pour cinq enfants et qu’il a placés très précisément sur
un plateau.
Les biscuits sont tous de même épaisseur, mais certains enfants sont mécontents et disent que leur
biscuit est plus petit que celui des autres.
Pensez-vous que tous les enfants auront la même quantité de biscuit à manger ?
Sinon, mettez les biscuits dans l’ordre, du plus petit au plus grand.

LES POTS DE BONBONS :

Dans un premier pot, Grand-mère met 6 bonbons à l’orange

et 10 au citron.
Dans un deuxième pot, elle met 8 bonbons à l’orange et 14 au
citron.
Les bonbons sont de même forme et enveloppés de la même
façon.
Comme Grand-mère sait que Julien n’aime pas le goût du
citron, elle lui dit :
Tu peux prendre un bonbon. Je te laisse choisir le pot dans
lequel tu pourras glisser ta main, sans regarder à l’intérieur.

Julien réfléchit bien et choisit enfin le pot où il pense avoir la meilleure chance de prendre un
bonbon à l’orange.
À la place de Julien, quel pot auriez-vous choisi ?
À LA FONTAINE :
 Deux amies, Laure et Pauline, vont chercher de l’eau avec un seau à la fontaine Eauclaire.
 Leurs deux seaux contiennent ensemble 26 litres.
Avec l’’eau contenue dans le seau de Laure on peut remplir 3 fois le seau de Pauline
et il reste encore 2 litres d’eau dans le seau de Laure.
Combien de litres contient le seau de Pauline ? Et celui de Laure ?

LE RESTAURANT CHINOIS :

L’enseigne du restaurant chinois « Le serpent rouge » est un long serpent rouge à l’intérieur d’un

rectangle doré.
Cette figure est une reproduction fidèle de l’enseigne :
Quelle est la mesure de l’aire du serpent ?
L’aire est 1600pi cm²
LE TABLEAU VOLÉ :
L’inspecteur Derrick doit découvrir les responsables du vol d’un célèbre tableau du XVIe siècle.
Les suspects sont quatre personnages bien connus de la police : Bernard le balafré, le clochard Karl
et les frères Augusto et Dante.
L’inspecteur les interroge tous les quatre et recueille leurs déclarations :
• Augusto : Bernard n’a pas volé le tableau.
• Karl : Le vol n’a pas été commis par Dante.
• Bernard : Le voleur est l’un des deux frères.
• Dante : Ce n’était pas moi.
L’inspecteur sait qu’un seul d’entre eux a menti.
Qui a volé le tableau ?
le voleur est Karl.

LE TERRAIN DU PÈRE FRANÇOIS :

Le père François veut partager son champ rectangulaire entre ses trois fils, par deux clôtures

rectilignes issues du sommet A, de manière que les trois parts soient de même aire.

La poursuite

Durant sa ronde de nuit, Sem le policier voit un voleur quitter en courant une bijouterie. Il se lance

aussitôt à sa poursuite.
Au début de la poursuite, la distance entre Sem et le voleur équivaut à 18 pas du voleur.
Pendant que le voleur fait 8 pas, Sem en fait 5. Mais, en longueur, 2 pas de Sem valent 5 pas du
voleur.
 Combien de pas Sem devra-t-il faire pour attraper le voleur ?
Sem rejoint le voleur après 50 pas du voleur, c’est-à-dire 20 pas de Sem.

Perroquets colorés :

 Les oeufs pondus par le perroquet de Marc sont éclos. Chaque oisillon qui vient de naître est d’une
seule couleur : jaune, rouge, vert ou bleu.
Marc observe que les nouveau-nés sont
– tous rouges sauf 15,
– tous jaunes sauf 12,
– tous verts sauf 14,
– tous bleus sauf 13.
Combien Marc a-t-il de petits perroquets ? Et combien de chaque couleur ?
– En déduire qu’il y a 3 petits perroquets rouges (18 – 15), 6 jaunes (18-12), 4 verts (18-14) et 5 bleus (18-13).
 

PROFESSEUR TOURNESOL :
M. Tournesol se rend en voiture de sa maison à son bureau.
C’est seulement lorsqu’il est exactement à mi-chemin qu’il se rend compte que la petite lampe du niveau d’essence clignote et
que son réservoir est presque vide.
Il décide alors de faire demi-tour pour se rendre à la station d’essence qui se situe exactement au
milieu du trajet déjà parcouru.
Après avoir fait le plein, il repart en direction de son bureau. Lorsqu’il y arrive, il constate que
son compteur indique 24 km. Il l’avait remis à zéro le matin en partant de sa maison.
A quelle distance de la maison se trouve le bureau de M. Tournesol ?

Problème :

Problème :

Il y a 40 élèves dans une chorale, 15 chantent faux, 18 ont des lunettes et 4 chantent faux et ont des lunettes.

Combien d’élèves chantent juste et n’ont pas de lunettes.

Fractions de disques :

1. A quelle fraction du grand disque correspondent les six petits disques ?

 2. A quelle fraction du grand disque correspond l’aire en marron ?


Les horloges

Les habitants de Transalpie sont très précis et aiment beaucoup les horloges

qu’ils mettent dans toutes les pièces de leur maison, de la cave au grenier.

Ils les entretiennent et les remontent avec soin.

Le dernier recensement a permis de savoir qu’au 1er  janvier 2010,

il y a 34 532 377 habitants en Transalpie, répartis en 12 345 678 foyers.

Dans chaque foyer, il y a en moyenne 15 horloges, qui font tic ou tac à chaque seconde.

On entendra donc un très grand nombre de tic et de tac en Transalpie durant l’année 2010 !

Par combien de chiffres « 0 » se terminera ce nombre ?

Quel sera le dernier chiffre différent de « 0 » de ce nombre ?

Expliquez votre raisonnement. 

Le kartodrome

Ce que vous voyez représenté dans le dessin est le plan d’un circuit pour les courses du Go-Kart.

Lorsque le circuit n’est pas utilisé pour les compétitions, on peut s’y promener.

Luigi et Enrico veulent savoir s’il est plus avantageux de parcourir le circuit

dans le sens des aiguilles d’une montre ou en sens contraire pour rejoindre la zone de repos à partir de l’entrée.

Ils décident de marcher, à la même vitesse, en partant de l’entrée,

mais en allant dans les deux directions opposées,

Luigi dans le sens des aiguilles d’une montre, Enrico dans l’autre sens.

Qui arrivera le premier à la zone de repos ?

Justifiez votre réponse et montrez vos calculs

 Le bouquet

Dans la classe de Sandra, les élèves apprécient beaucoup leur professeur de mathématiques. Ils ont décidé de lui offrir un bouquet de fleurs pour la fête de Noël.

Chaque élève a donné autant de fois 2 centimes d’Euros qu’il y a d’élèves dans la classe.

Sandra a réuni les cotisations et fait le compte de ce qu’elle a reçu. Non compris sa propre contribution, elle a 22 euros et 44 centimes .

Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ?

Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

Les factorielles

Anne, Berthe et Claire observent ce tableau de nombres, découvert dans les dernières pages d’un vieux manuel de mathématiques :

1! = 1

2! = 1 x 2 = 2

3!  = 1 x 2 x 3 = 6

4!  = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7= 5 040

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320

9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362 880

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800

11! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 = 39 916 800

12! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 = 479 001 600

13! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 = 6 227 020 800

14! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 = 87 178 291 200

Anna dit : selon moi, le dernier nombre de la ligne 22! se terminera par quatre zéros.

Berthe dit : selon moi le dernier nombre de la ligne 27! se terminera par cinq zéros.

Claire dit : non, selon moi, le dernier nombre de la ligne 27! se terminera par six zéros.

Et vous, qu’en pensez-vous ?

Dites si les affirmations de chacune des trois amies sont vraies ou fausses, et pourquoi.

Les nombres de monsieur trapèze

Monsieur Trapèze écrit les nombres naturels depuis 0, très régulièrement, en lignes et en colonnes, dans cette disposition en forme de trapèze :

0     1     2

3     4     5     6     7

8     9    10   11   12   13   14

15   16   17   18   19   20   21   22   23

24   25   26   27   28   29   30   31   32   33   34

35   36   37   38   39   40   41   42   43   44    …    …    …

…    …    …    …    …    …    …    …    …    …    …

Arrivé à 44, il fait une pause et constate qu’il est à la 6e ligne, où il manque encore trois nombres.

Il décide d’écrire en tout 30 lignes complètes.

Quel sera le dernier nombre qu’il écrira dans sa 30e ligne ?

Expliquez votre raisonnement.

Le mot de passe

Marie-Thérèse Rococo a choisi un mot de passe pour son ordinateur, composé de 6 chiffres suivis de 3 lettres majuscules.

• les 6 chiffres choisis sont tous différents et le 0 ne figure pas parmi eux,

• leur somme est 23,

• les six chiffres forment un nombre inférieur à 420 000,

• le produit du premier chiffre et du dernier est 28,

• le troisième, le quatrième et le cinquième chiffres forment un nombre qui est multiple de 59,

• les trois lettres du code sont les initiales de Rococo Marie-Thérèse, dans cet ordre.

Quel est le mot de passe de Marie-Thérèse ?

Expliquez votre raisonnement.

La machine à frites

Dans l’usine Bellefrites, on a installé plusieurs machines identiques pour couper les pommes de terre en frites.

Le premier jour, on a fait fonctionner trois machines pendant deux heures et on a obtenu 300 kg de frites.

Le deuxième jour, on a fait fonctionner six machines pendant quatre heures.

Combien de kg de frites ont été obtenus au cours de ces deux jours ?

Expliquez comment vous avez trouvé la réponse.


Problème de loterie

Dans une loterie, tous les billets ont un numéro différent composé de quatre chiffres allant de 0000 à 9999.

Les billets gagnants sont ceux qui ont un numéro « palindrome », c’est-à-dire ceux dont les quatre chiffres sont dans le même ordre si on les lit de gauche à droite ou si on les lit de droite à gauche. Exemples : 1221, 0330, 7777, …

Chaque joueur qui tire un billet gagnant reçoit 250 euros.

Si tous les billets sont vendus, chacun au prix de 4 euros, quel sera le bénéfice de la loterie après avoir récompensé les gagnants ?

Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

Série 3 des problèmes ouverts du collège au lycée
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