Raisonnement par récurrence


Raisonnement par récurrence Niveau : terminale
Posté par LauraDubois33

LauraDubois33

Bonjour, élèves de terminale s je rencontre des difficultés concernant les raisonnements par recurrences, j'ai beau m'entraîner rien y fait cependant je bloque en général au niveau de l'hérédité c'est à dire là-bas base de la démonstration. Avez-vous des conseils à me donner pour résoudre n'importe quel exercice s'il vous plaît ?


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Raisonnement par récurrence Posté le 11/09/2019 - 15:14

Posté par LauraDubois331 points


LauraDubois33

J'ai des difficultés surtout la récurrence, voici un exercice réalise en ce ours que je n'ai pas bien compris:

Il s'agite de démontrer par récurrence que 4^n -1 est divisible par 3 voici ce qui a été fait:

Soit Pn la proposition" il existe un réel K tel que 4^n -1=4K" Quel l'on cherche à démontrer pour tout n appartenant à n.

Initialisation:

pour n=0 à gauche:0 et à droite:0 donc P0 est vraie

heredite: Soit n appartenant à N on suppose que on est vrai : 4^n -1=3k

et l'on montrer que Pn+1 est vraie

4^n -1=4^n *4

          =4(4^n -1)+3

           = 4*3K+3

           =3(4K+1) 

j'aurais juste besoin de savoir pourquoi on ajoute le 3  et factorise par 3. Je remercie chaque personne me venant en aide

           Cordialement, Laura



Raisonnement par récurrence Posté le 11/09/2019 - 16:48

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin742 points


Corsico

Bonjour,

Caractère héréditaire : on suppose que pout tout entier naturel n , la proposition p(n) est vraie. On suppose donc que (4^n -1) est divisible par 3 et on doit montrer qu'elle est vraie aussi pour p(n+1). Cela revient à dire que 4 puissance (n+1) -1 est aussi divisible par 3.

Si (4^n -1) est divisible par 3, alors il existe un entier k tel que 4^n-1 = 3k  qu'on peut écrire    4^n =3k +1.

On sait que 4 puissance ( n+1) = 4^n * 4, donc 4 puissance (n+1) -1 = (3k +1)*4 -1 ce qui se réduit à 4 puissance (n+1) - 1 = 12k +4 -1 ou 12k + 3 ou 3(4k+1).

Comme  4k +1 est un entier,  , 4 puissance (n+1) -1   est divisible par 3.







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