Raisonnement par récurrence


Raisonnement par récurrence Niveau :
Posté par baudelaire56

baudelaire56

Bonjour à tous, j'ai un DM de maths à rendre dans lequel je bloque sur un exercice de raisonnement par récurrence.

Les données sont: z0=1+i  zn+1=(zn+lznl)/3   zn=an+i*bn

L'énoncé du problème est: Pour tout entier naturel n, on pose un=lznl. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un<=(2/3)^n*√2. En déduire que la suite (un) converge vers une limite que l'on déterminera.

J'ai donc commencé le protocole normal d'un raisonnement par récurrence en établissant Pn:"un<=(2/3)^n*√2".

Initialisation: un=lznl donc u0=lz0l=l1+il=√(1^2)+(1^2)=√2. Ainsi u0<=(2/3)^0*√2 car u0<=√2 et √2<=√2 donc u0 est vraie.

C'est pour l'hérédité que les choses se compliquent...

Hérédité: soit k un entier >=0. Supposons Pk vraie et montrons que Pk+1 l'est aussi. Avec Pk:"uk<=(2/3)^k*√2" et Pk+1:"uk+1<=(2/3)^(k+1)*√2". C'est à partir de là que je bloque et que je ne sais pas comment débuter. 

J'ai commencé par faire uk=lzkl donc uk+1=lzk+1l=l(zk+lzkl)/3l et on sait que la norme d'un quotient c'est le quotient de la norme (lz/z'l=lzl/lz'l) et j'arrive à lzk+lzkll/l3l donc lzk+lzkll/l3l<=(2/3)^k*√2. 

Mais je pense pas être sur la bonne voie. Si une âme charitable se dévoue à m'aider pour se casse tête je lui en serais très reconnaissant !


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Raisonnement par récurrence Posté le 19/01/2017 - 16:55

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin1024 points


Maginot20

Bonjour,

Le début est bon, mais il faut continuer en utilisant l'inéquation triangulaire:

%7Cz_{k}+%7Cz_{k}%7C%7C\,\leq \,%7Cz_{k}%7C+%7Cz_{k}%7C=2%7Cz_{k}%7C

En reportant :

%7Cz_{k+1}%7C\,\leq \,\frac{2}{3}*%7Cz_{k}%7C

Je te laisse terminer







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