Cours maths 4ème

Puissance d’un nombre relatif : cours de maths en 4ème


Mise à jour le 14 octobre 2019  |   Signalez une ERREUR  | 

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Puissances d’un nombre relatif avec un cours de maths en 4ème où nous aborderons la définition d’une puissance puis les différentes règles de calculs comme l’inverse d’une puissance, le produit et le quotient de puissances dans cette leçon en quatrième.

Puissance entière d’un nombre relatif :

1. Puissances positives :

a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.

Définition :

a^n désigne le produit de n factuers tous égaux à a :

a^n=\underbrace{a\times   a\times   .....\times   a\times   a}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n fois

Conventions :

– Pour tout nombre a non nul, a^0=1.

– Pour tout nombre aa^1=a.

Exemples :

2^5=2\times   2\times   2\times   2\times   2=32

(-3)^4=(-3)\times   (-3)\times   (-3)\times   (-3)=+81

Cas particuliers :

– Si n=1, a^1=a .

– Si n=2, a^2 se lit a au carré .

– Si n=3, a^3 se lit a au cube.

2. Puissances négatives :

Définition :

a^{-n} désigne l’inverse de a^n.

a^{-n}=\frac{1}{a^n} , où a est un nombre relatif différent de zéro.

Exemples :

2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2\times   2\times   2}=\frac{1}{8}

(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{(-3)\times   (-3)}=\frac{1}{9}

3. Produit de puissances :

Propriété :

Soient m,n deux entiers relatifs et a un nombre relatif non nul.

a^m\times   a^n=a^{m+n}

Preuve :

a^m\times   a^n=\underbrace{a\times   a\times   ...a\times   a}\times   \underbrace{a\times   ..\times   a}=\underbrace{a\times   a\times   ....\times   a}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m\, fois\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,fois\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m+n\,fois

Exemples :

5^3\times   5^2=5^{3+2}=5^5

7^4\times   7^{-5}=7^{4+(-5)}=7^{-1}

4. Quotient de puissances :

Propriété :

Soient m,n deux entiers relatifs et a un nombre relatif non nul.

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Preuve :

\frac{a^m}{a^n}=a^m\times   \frac{1}{a^n}=a^m\times   a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}

Exemples :

\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4

\frac{10^{-15}}{10^3}=10^{-15-3}=10^{-18}

\frac{7^{-4}}{7^{-9}}=7^{-4-(-9)}=7^{-4+9}=7^5

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