Problème deux polygones lycée


problème deux polygones lycée Niveau : première
Posté par sofia123

sofia123

Deux polygones (lycée)

La figure ci-contre représente un rectangle ABCD et un triangle isocèle ABE ayant tous les deux 12 cm de périmètre.

 Déterminer lequel de ces deux polygones a la plus grande aire suivant la valeur de AB.

 

je ne sais pas comment mis prendre


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Problème deux polygones lycée Posté le 23/10/2017 - 21:36

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

Bonjour,

Qu'as tu reussi à faire ?

Il faut que tu calcules les aires du rectangle et du triangle isocèle et pour cela que tu commences par determiner les longueurs des cotés qui te manquent c'est à dire AD et EH. Pour cela tu sais que le périmètre de ces deux figures a pour valeur 12cm.

Donne moi tes résultats et je te dirai si c'est ok.

Bonne soirée



Problème deux polygones lycée Posté le 23/10/2017 - 22:53

Posté par sofia1239 points


sofia123

Bonsoir, merci de m'avoir répondu

Comment je dois mis prendre pour calculer AD et EH ?

j'ai essaie de faire cela:

le périmètre du rectangle (L+l)*2

Donc (DA+AB)*2

le périmètre du triangle isocèle 2*coté +base

Donc 2*EA+AB

Total

12 cm

AB est le segment commains de ces deux polygones  alors je vais le nommer x

= ((DA+x)*2)+(2*EA+x)

= 2DA+ 2x+2EA+2x

= 4 DE + 4x²

l’aire du rectangle L*l

Donc DA+x

l’aire triangle isocèle (1/2)* base*hauteur

Donc (1/2) *x *EH

Je ne sais pas si c'est bon et je ne comprend toujours pas comment trouver les longeurs des cotés.

 



Problème deux polygones lycée Posté le 23/10/2017 - 23:48

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

Tu n'as pas utilisé le fait que le périmètre de chaque polynome est egal à 12cm. Ainsi pour le triangle:

\\2(DA+x)=12\\\,DA+x=6\\\,DA=6-x

Ainsi l'aire du rectangle est:

\\\,A_{ABCD}=DA*x=(6-x)*x

De même dans le triangle isocèle AEB :

\\\,2*AE+x=12\,\\\,AE=6-\frac{x}{2}

Pour determiner la mesure de EH il faut considérer le triangle EHB qui est rectagle en H et utiliser Pythagore. Cela te permettra d'en deduire l'aire du triangle AEB.

Je te laisse continuer



Problème deux polygones lycée Posté le 24/10/2017 - 19:39

Posté par sofia1239 points


sofia123

bonjours

si je comprend bien

On utilise le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle EH

EHB est un triangle rectangle en H, donc j'utilise le théorème de Pythagore

 

 BE^2=HB^2+HE^2   donc AE=6-\frac{x}{2}=BE

HE^2=BE^2-HB^2         or      DA=6-x=HB

   HE^2=(6-\frac{x}{2})^{2}-(6-x)\,^{2}

HE^{2}=(36-\frac{2x}{4})-\frac{36}{2x}

HE^2=(\frac{144}{4}-\frac{2x}{4})-\frac{36}{2x}

HE^2=(\frac{144-2x}{4})-\frac{36}{2x}

HE=\sqrt{\frac{144-2x}{4}-\frac{36}{2x}}

l'aire du triangle isocele \frac{1}{2}*x*EH

AIRE_{EAB}\,=\frac{1}{2}*((6-X)*2)*\sqrt{\frac{144-2X}{4}-\frac{36}{2X}}

 

AIRE_{EAB}\,=\frac{1}{2}*(12-2X)*\sqrt{\frac{144-2X}{4}-\frac{36}{2X}}

 



Problème deux polygones lycée Posté le 24/10/2017 - 20:43

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

DA n'est pas égal à HB. Par contre dans un triangle isocèle EAB, la hauteur EH est en même temps bissectrice, médiane et médiatrice. Donc HB=HA=\frac{x}{2}

Reprends to calcul de la hauteur EH avec l'utilisation de PYthagore pour en deduire ensuite l'aire du triangle EAB.



Problème deux polygones lycée Posté le 24/10/2017 - 21:13

Posté par sofia1239 points


sofia123

merci de m'avoir corrigé

EHB est un triangle rectangle en H, donc j'utilise le théorème de Pythagore

 BE^2=HB^2+HE^2   donc AE=6-\frac{x}{2}=BE

HE^2=BE^2-HB^2         or      HB=\frac{x}{2}=HA

   HE^2=(6-\frac{x}{2})^{2}-(\frac{x}{2})\,^{2}

HE^{2}=(36-\frac{2x}{4})-\frac{2x}{4}

HE^2=(\frac{144}{4}-\frac{2x}{4})-\frac{2x}{4}

HE^2=\frac{144-2x-2x}{4}

HE^2=\frac{144}{4}

HE^2=36

 

HE=\sqrt{36}

HE=6 cm

 

l'aire du triangle isocele \frac{1}{2}*x*EH

AIRE_{EAB}\,=\frac{1}{2}*x*6

AIRE_{EAB}\,=3x

 



Problème deux polygones lycée Posté le 24/10/2017 - 21:35

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

Il faut que tu révises les identités remarquables:

\\\,HE^{2}=(6-\frac{x}{2})^{2}-(\frac{x}{2})^{2}\,\\\,HE^{2}=36-2*6*\frac{x}{2}+(\frac{x}{2})^{2}-(\frac{x}{2})^{2}\,\\\,HE^{2}=6(6-x)

Maintenant donne moi l'expression de l'aire des deux figures (rectangle et triangle) en fonction de x.



Problème deux polygones lycée Posté le 24/10/2017 - 22:49

Posté par sofia1239 points


sofia123

HE^2=6(6-x)

HE^2=6*6+6*(-x)

HE^2=36-6x

HE=\sqrt{36-6x}

 

A_{ABCD}=\,x*DA\,=\,x(6-x)\,=6x-x%B2

A_{ABE}=\,\frac{1}{2}x*\sqrt{36-6x}

 

 



Problème deux polygones lycée Posté le 24/10/2017 - 23:38

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

Pour répondre à la question de ton problème il faut resoudre l'inéquation suivante et determiner les valeurs de x correspondantes:

\\A_{ABCD}%3EA_{ABE}\,\\\,x(6-x)%3E\frac{x}{2}\sqrt{6(6-x)}

Donne moi en premier l'inteervalle sur lequel x prend ses valeurs. Tu pourras ensuite simplifier par x cette expression et en élevant au carré resoudre l'inéquation.



Problème deux polygones lycée Posté le 25/10/2017 - 23:22

Posté par sofia1239 points


sofia123

la résolution de l' inéquation est la suivante:



Problème deux polygones lycée Posté le 25/10/2017 - 23:58

Posté par sofia1239 points


sofia123

\\A_{ABCD}%3EA_{ABE}\,\\\,x(6-x)%3E\frac{x}{2}\sqrt{6(6-x)}

(6\,-\,x)\,x%3E\sqrt\frac{3}{2}\sqrt{6\,-\,x}\\,x

-(x\,-\,6)\,x%3E\sqrt{9\,-\frac{3x}{2}}\\,x

x\,(x\,+\,\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{-x\,-\,6}\,-\,6)%3C0

2\,x\,+\,\sqrt{6}\,\sqrt{6\,-\,x}%3C12



Problème deux polygones lycée Posté le 26/10/2017 - 00:25

Posté par sofia1239 points


sofia123

Solution 0<x<(9/2)

x=1

x=2

x=3

x=4

L'intervalle [0;(9/2)]



Problème deux polygones lycée Posté le 26/10/2017 - 00:34

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

Il faut élever chaque membre de cette équation au carré pour faire disparaitre la racine carrée et qui ne change pas le sens de l'inéquation.

\\\,x^{2}(6-x)^{2}%3E(\frac{x}{2})^{2}*6(6-x)

On transpose dans le membre de gauche et on factorise:

\\\,x^{2}(6-x)^{2}-6*\frac{x^{2}}{4}*(6-x)%3E0\,\\\,x^{2}(6-x)[(6-x)-\frac{3}{2}]%3E0\,\\\,x^{2}(6-x)(\frac{9}{2}-x)%3E0\,\\

Il faut que tu resolves cette inéquation en étudiant le signe de chacun des termes.



Problème deux polygones lycée Posté le 27/10/2017 - 21:24

Posté par sofia1239 points


sofia123

\\,x^{2}(6-x)(\frac{9}{2}-x)%3E0

les\\,signes\\,de\\,x^{2}

x^{^{2}}\\,est\\,zero

x^{^{2}}=0             x^n=0\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\:x=0

x=0

x^{^{2}}\,est\\,positif

x^{^{2}}%3E0

(f(x))^2%3Ea\to\,\:f(x)%3E\sqrt{a}\quad\,\mathrm{or}\quad\,\:f(x)%3C-\sqrt{a}

x^{^{2}}%3E0\,\\,or\,\\,x^{^{2}}%3C0

x\,^{^{2}}\\,est\\,negatifx\,^{^{2}}%3C0

(f(x))^2%3Ca\to\,\:f(x)%3C\sqrt{a}\quad\,\mathrm{et}\quad\,\:f(x)%3E-\sqrt{a}

x\,^{^{2}}%3C0\\,et\\,x\,^{^{2}}%3E0

 

les\\,signes\\,de\\,6\,-x

6-x\,\\,est\\,zero

6-x+x=0+x

6-x=0

6=x

 

6-x\,\\,est\\,positif

6-x\,%3E0

6-x+x\,%3E0+x

6\,%3Ex

 

6-x\,\\,est\\,negatif

6-x+x\,%3C0+x

6\,%3Cx

6-x\,%3C0

 

les\\,signes\\,de\,\frac{9}{2}-x

\frac{9}{2}-x\,\\,est\\,zero

\frac{9}{2}-x=0

\frac{9}{2}-x+x=0+x

\frac{9}{2}=x

 

\frac{9}{2}-x\\,est\\,positif

\frac{9}{2}-x%3E0

\frac{9}{2}-x+x%3E0+x

\frac{9}{2}%3Ex

 

\frac{9}{2}-x\\,est\\,negatif

\frac{9}{2}-x%3C0

\frac{9}{2}-x+x%3C0+x

\frac{9}{2}%3Cx

 



Problème deux polygones lycée Posté le 28/10/2017 - 11:59

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin906 points


Maginot20

C'est très difficile de comprendre ce que tu fais.

Il faut déjà remarquer que : 0%3C\,x%3C\,6 car le rectangle qui a un périmètre de 12cm a donc une longueur plus petite que 6cm. Il faut donc étudier le signe de l'expression dans cet intervalle.

x^{2}%3E0 car c'est un carré.

(6-x)%3E0 conséquence de la remarque précédente.

Le signe de l'expression ne depend que du signe de (\frac{9}{2}-x)

\\\,(\frac{9}{2}-x)%3E0\,\\\,x%3C\frac{9}{2}

En conclusion :

Si 0%3Cx%3C\frac{9}{2} alors l'aire du rectangle ABCD est supérieure à l'aire du triangle ABE.

Si \frac{9}{2}%3Cx%3C6 alors l'aire du triangle ABE est supérieure à l'aire du rectangle ABCD.

Si x=\frac{9}{2} l'aire du rectangle est égale à l'aire du triangle.

Bon week end

 

 

 

 

 



Problème deux polygones lycée Posté le 28/10/2017 - 15:02

Posté par sofia1239 points


sofia123

merci beaucoup pour votre aide !

bon week end à vous aussi







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