Cours maths terminale

Les limites et les asymptotes


Mise à jour le 13 février 2018  |  Signalez une ERREUR

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Cours sur les limites (somme, produit, quotient) et formes indéterminées.Etudes des asymptotes horizontales, verticales et obliques en terminale S pour l’enseignement obligatoire.
Connaissances nécessaires à ce chapitre :
$$\,\star\,$$ Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.
$$\,\star\,$$ Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient
de deux suites.
$$\,\star\,$$ Utiliser un théorème de comparaison ou d’encadrement
pour déterminer une limite de suite.
$$\,\star\,$$ Établir (par dérivation ou non) les variations d’une fonction.

I.Limite d’une fonction en l’infini

Dans toute cette partie, $$\,C_f$$ désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan.

1. Limite finie en l’infini

Définition

Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de $$\,\mathbb{R}$$ du type $$\,]a\,;\,+\infty[$$.
La fonction f a pour limite ℓ en $$\,+\infty$$ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les
valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$$.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur $$\,]0\,;\,+\infty[$$par $$\,f\,(x)\,=\frac{1}{x}+\,1$$. On a $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}(\,\frac{1}{x}+1\,)\,=\,1$$.
En effet, l’inverse de x se rapproche de 0 à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert I tel que $$\,1\in\,I$$. Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d’équation y = 1 et qui la
contient, il existe toujours une valeur de x au delà de laquelle $$\,C_f$$ ne sort plus de cette bande.

Limite de fonctions

Définition : asymptote horizontale.

La droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à $$\,C_f$$ en $$\,+\infty$$ si $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$$.

Remarque :

On définit de façon analogue $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}f\,(x)\,=\,l$$ qui caractérise une asymptote horizontale à $$\,C_f$$ en $$\,-\infty$$ d’équation y = ℓ.
Exemple :

On a vu précédemment que $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}(\,\frac{1}{x}+1\,)\,=\,1$$. On a aussi $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}(\,\frac{1}{x}+1\,)\,=\,1$$.
Donc, la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe $$\,C_f$$ en $$\,+\infty$$ et en $$\,-\infty$$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en ± $$\,\infty$$.

Soit n un entier naturel non nul.
$$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}\frac{1}{x^n}=0$$ et $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}\frac{1}{x^n}=0$$.

II. Limite infinie en l’infini

Définition :

La fonction f a pour limite $$\,+\infty$$ en $$\,+\infty$$ si tout intervalle de $$\,\mathbb{R}$$ du type $$\,]a\,;\,+\infty[$$ contient
toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}f\,(x)\,=\,+\infty$$.

Exemple :

Soit f la fonction racine carrée. On a$$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}\,\sqrt{x}\,=\,+\infty$$.
En effet, $$\,\sqrt{x}$$ devient aussi grand que l’on veut à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert $$\,I\,=]a\,;\,+\infty[$$. Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d’équation
y = a, il existe toujours une valeur de a au-delà de laquelle $$\,C_f$$ ne sort plus de ce demi-plan.

Courbe de fonction racine carrée.

Propriété (admise) : limites infinies des fonctions usuelles en ±$$\,\infty$$.

Soit n un entier naturel non nul.
$$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}x^n=+\infty$$ et $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}x^n=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$$

2. Limite infinie en un réel

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de $$\,\mathbb{R}$$ du type $$\,]x_0\,-\varepsilon\,;\,x_0[$$ ou $$\,]x_0\,;\,x_0+\varepsilon[$$.
La fonction f a pour limite $$\,+\infty$$ en $$\,x_0$$ si tout intervalle de $$\,\mathbb{R}$$ du type $$\,]A\,;\,+\infty[$$ contient toutes
les valeurs de f (x) pour x assez proche de $$\,x_0$$. On note alors : $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$$.

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation $$\,x=x_0$$ est asymptote verticale à $$\,C_f$$ si $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$$ ou $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,x_0}f\,(x)\,=\,-\infty$$.

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en 0.

Soit n un entier naturel non nul.
$$\,\lim_{x\rightarrow\,\,0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow\,\,0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty$$ et $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,0^+}\frac{1}{x^n}=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$$

III. Opérations sur les limites.

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions.

limite-somme-produit-quotient

IV. Limite d’une fonction composée

1. Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée $$\,g\,o\,f$$ définie sur E par $$\,g\,o\,f\,(x)\,=\,g(\,f\,(x))$$.

Remarque :

Il ne faut pas confondre $$\,g\,o\,f$$ et $$\,fo\,g$$ qui sont, en général, différentes.

2. Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et a, b et c trois réels ou ± $$\,\infty$$.
Si $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,a}f\,(x)\,=\,b$$ et $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,b}g\,(x)\,=\,c$$, alors $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,a}h\,(x)\,=\,c$$.

V. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison

Théorème :

Théorème de comparaison

2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Théorème :

Soit deux réels a et ℓ et trois fonctions f , g et h telles que, pour x > a, on a $$\,f\,(x)\,\leq\,\,g(x)\,\leq\,\,h(x)$$.
Si $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}f\,(x)\,=\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}h\,(x)\,=\,l$$, alors $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,+\infty}g\,(x)\,=l$$.

Remarque :On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deux théorèmes
analogues lorsque x tend vers −$$\,\infty$$ et lorsque x tend vers un réel $$\,x_0$$.

Exemple :

Déterminons la limite en −$$\,\infty$$ de $$\,f\,(x)\,=\,\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}$$.
La limite de cos x en −$$\,\infty$$ est indéterminée. Donc celle de f (x) aussi.
Cependant pour tout x réel strictement négatif, $$\,-1\,\leq\,\,cos\,x\,\leq\,\,1$$ donc $$\,x\,\leq\,\,x\,cos\,x\,\leq\,\,-x$$.
Et en divisant membre à membre par $$\,x^2\,+\,1\,>\,0$$ on a :
$$\,\frac{x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{x\,cos\,x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{-x}{x^2+1}$$.

Pour $$\,x\,\in\,R\,^*$$,$$\,\frac{x}{x^2\,+\,1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$.

Or,  $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}x+\frac{1}{x}=-\infty$$ donc  $$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}\frac{x}{x^2\,+\,1}=\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}\frac{-x}{x^2\,+\,1}=0$$

Donc, d’après le théorème des gendarmes,$$\,\lim_{x\rightarrow\,\,-\infty}\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}=0$$.

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