Cours maths 1ère

Les suites numériques : cours de maths en 1ère S.


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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Les suites numériques en 1ère S où nous aborderons la définition d’une suite puis son sens de variation. Dans cette leçon en première S, nous étudierons deux familles de suites particulières, les suites arithmétiques et géométriques ainsi que leur sens de variation suivant la valeur de la raison puis, nous terminerons avec le calcul de la somme des n premiers termes d’une suite numérique.

I. Définition

Définition :

Une suite numérique  est une fonction de  dans  : .

Son ensemble de définition est donc  ou un sous-ensemble de .

II. Notations – Vocabulaire

            · La variable n étant un nombre entier naturel, cet entier n permet de numéroter les images : en plus de l’écriture fonctionnelle classique s(n) utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction s, on peut aussi utiliser la notation indexée (ou indicée): sn . Avec cette notation l’image de 0 s’écrit : s0.

· Avec cette notation, on dit que :

s(n) = sn est le terme d’indice n ou de rang n de la suite s.

s est la suite de terme général sn et l’on écrit : s = (sn)

s(0) = s0 qui est l’image de 0 par s est aussi appelé terme de rang 0 de la suite s .

s(1) = s1 qui est l’image de 1 par s est aussi appelé terme de rang 1 de la suite s.

Si la numérotation commence au rang 0, s(0) = s0 est le premier terme de la suite s . s(1) = s1 est le second terme de la suite s.

Il arrive parfois que le premier terme d’une suite s ne soit pas s0 .

Exemple :

 n’existe pas pour n = 0. La suite commence au rang 1. On écrira alors:  pour .

 n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1. La suite commence au rang 2.

Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de  où la suite est définie: Ici, on a : .

III. Diverses manières de définir une suite

1) Suites définies par une formule de fonction:

Pour cela, la plupart du temps, on restreint à  une fonction définie sur  ou un sous-ensemble de  contenant  .

Par exemple, la suite un = n2 ( ), est la restriction à n de la fonction f définie sur par f(x) = x2 .

Ainsi, les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites!

Nous étudierons cependant aussi quelques exemples de suites associées à des fonctions que vous n’avez pas encore étudiées en 1ère ; par exemple, la suite géométrique un = 2n est associée à la fonction exponentielle définie sur  par f(x) = 2x qui sera étudiée en classe terminale.

2) Suites définies par une formule de récurrence:

            Pour tout entier naturel n, l’image s(n) = sn est « numérotable ».

On peut définir le terme s(n+1) = sn+1 de rang (n+1) en fonction du terme précédent s(n) = sn de rang n par une formule appelée formule de récurrence.

Plus précisément, la suite s = (sn) sera définie par récurrence par:

· Son premier terme s(0) = s0 .

· Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite:

sn+1  = f(sn ) où f est une fonction connue.

Par exemple, la suite définie par son premier terme u0 = 4096 et la formule de récurrence véri­fiée pour tout entier n: .

On obtient :     u1 =  = 64

u2 =  = 8

u3 = 

u4 = 

u5 …. et ainsi de suite …

Ici la fonction f est définie par .

IV. Représentations graphiques de suites

            Lorsque la suite est définie par une égalité fonctionnelle du type , la représentation traditionnelle des graphiques de fonction est utilisable: On obtient alors les points d’abscisses entières du graphique de la fonction de la variable réelle x:  .


Par exemple, le graphique de la suite définie sur par: , correspond aux point d’abscisses  de la fonction définie sur  par .

            Lorsque la suite est définie par une formule de récurrence du type , cette représentation n’est plus directement réalisable.

On a alors recours à une représentation de type « toile d’araignée » .

Voyons cela sur un exemple:

 
 

Sur le graphique ci-dessus, sont tracées les droites d’équation  et y = x.

Ce dispositif permet de visualiser les termes successifs de la suite  définie sur  par :

u0 = 10 et , pour tout 

En effet :                     

V. Suites monotones

Sens de variation d’une suite :

Si pour tout , on a:

Sens de variation de 

 croissante

 constante

décroissante

Variation absolue

Quotient    (termes strictement positifs)

VI. Suites bornées, majorées, minorées

Mêmes définitions que pour les fonctions de la variable réelle.

Exemple :

 La suite sn = sin n est une suite bornée. En effet: elle est majorée par 1 et minorée par (-1).

VII. Suites périodiques

Définition :

On dit qu’une suite est périodique de période  , lorsque, pour tout , on a:  , p étant le plus petit entier naturel non nul vérifiant ceci.

Exemples :

Les suites constantes sont périodiques de période 1.

La suite  est périodique de période 2.

VIII. Suites arithmétiques

Définition :

         Lorsque l’on passe de n’importe quel terme d’une suite au terme suivant, en additionnant (ou en soustrayant) toujours le même nombre, on dit que la suite est arithmétique.

C’est à dire que, s’il existe , tel que, pour tout , on ait :

, on dit alors que la suite est arithmétique de raison r.

Les accroissements d’une suite arithmétique sont donc constants : cette constante est la raison r de la suite arithmétique.

Exemples :

La suite des entiers naturels est arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.

La suite des entiers naturels pairs est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.

La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.

La suite constante de terme général Un = 2 est arithmétique de premier terme 2 et de raison 0.

IX. Suites géométriques

Définition :

Lorsque l’on passe de n’importe quel terme d’une suite au terme suivant, en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre non nul, on dit que la suite est géométrique.

C’est à dire que, s’il existe , tel que, pour tout , on ait :

, on dit alors que la suite  est géométrique de raison .

Les coefficients multiplicateurs d’une suite géométrique sont donc constants : cette constante est la raison q de la suite géométrique.

Les taux d’accroissements d’une suite géométrique sont aussi constants. En effet :

 .

La suite géométrique de raison q possède donc un taux d’accroissement constant t = q – 1.

Exemples :

La suite constante de terme général Un = 2 est géométrique de premier terme 2 et de raison 1.

La suite de terme général Un = (-1)n est géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison -1.

Remarques:

· Une suite dont les variations absolues successives Sn+1 – Sn = r sont constantes, c’est à dire indépendantes de n, est une suite arithmétique de raison r.

· Une suite  dont les variations relatives successives sont constantes , c’est à dire indépendantes de n, est une suite géométrique de raison q = 1 + t.

Par exemple, avec une augmentation relative de t = 5 % = 0,05 , alors, q = 1,05 .

En effet, si   0,05 , alors : Sn+1 – Sn = 0,05 Sn .

Donc : Sn+1 = Sn + 0,05 Sn = (1 + 0,05) Sn .

Cela donne : Sn+1 = 1,05 Sn .

On a donc une suite géométrique de raison q = 1,05.

Et dans le cas général, si  , alors :  .

Donc :  .

On a donc une suite géométrique de raison .

X. Suites arithmétiques et géométriques – Résumé

S est une suite et n un entier naturel quelconque:

Suite arithmétique de raison r

Suite géométrique de raison q ¹ 0

formule de récurrence

caractérisations

 (constante)

si ,    (constante)

terme de rang n : formule de fonction

1er terme + n fois la raison

1er terme  raison exposant n

Quelques remarques intéressantes :

Suites arithmétiques :

La suite définie par la formule:   (fonction affine de ) est la suite arithmétique de premier terme  et de raison 

La représentation graphique d’une suite arithmétique est donc formée de points alignés.

Suites géométriques :

La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général   est la suite géo­métrique de premier terme  et de raison  .

La représentation graphique d’une suite géométrique de raison différente de 1 est donc formée de points qui ne sont pas alignés (ils sont situés sur une courbe exponentielle).

Illustrations graphiques :

Suites arithmétiques – Sens de variation:

Propriété :

(un) est une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0, alors (un) est strictement croissante.

Si r < 0, alors (un) est strictement décroissante.

Si r = 0, alors (un) est constante.

Suites géométriques – Sens de variation:

Propriété :

(un) est une suite géométrique raison q ¹ 0 et de premier terme u0 ¹ 0.

Si q < 0, alors (un) n’est pas monotone (les termes sont alternativement positifs, puis négatifs).

Si q > 1 et si u0 > 0 , alors (un) est strictement croissante.

Si q > 1 et si u0 < 0 , alors (un) est strictement décroissante.

Si 0 < q < 1 et si u0 > 0 , alors (un) est strictement décroissante.

Si 0 < q < 1 et si u0 < 0 , alors (un) est strictement croissante.

Si q = 1, alors (un) est constante.

Suites arithmétiques – Somme de termes consécutifs:

Propriété :

Si  est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout , on a :

 égalité qui s’écrit aussi : .

Pour utiliser cette formule, il peut être utile de voir que : .

En particulier :    

Suites géométriques – Somme de termes consécutifs:

Propriété :

 Si  est une suite géométrique de raison , alors, pour tout , on a :

 égalité qui s’écrit aussi :  .

Pour utiliser cette formule, il peut être utile de voir que : .

 En particulier : .

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