Cours maths terminale

Les suites numériques


Mise à jour le 7 février 2018  |  Signalez une ERREUR

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Cours sur les suites numériques pour les élèves de terminale en enseignement obligatoire.

I . Comportement d’une suite numérique :

Définition :

Une suite est une application de l’ensemble $$\,\mathbb{N}$$ dans l’ensemble $$\, \mathbb{R}$$.

$$\, (U_n): \mathbb{N} \longrightarrow\,\mathbb{N} $$
$$ n \, \longrightarrow \, U_n $$ .

Définitions :

• Une suite $$\,(U_n)_{n\in \mathbb{N}\,}$$ est croissante $$\, \Leftrightarrow\,\,\forall n \in\, \mathbb{N},\,U_n \le \, U_{n+1}$$ .

• Une suite $$\,(U_n)_{n\in\mathbb{N}\,}$$ est décroissante $$\, \Leftrightarrow\,\,\forall n \in\, \mathbb{N},\,U_n \,\ge \, U_{n+1}$$ .

• Une suite $$\,(U_n)_{n\in\mathbb{N}\,}$$ est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :

• On parle aussi de suite $$\, (U_n)_{n\in\,\mathbb{N}\,}$$ croissante à partir d’un rang $$\, n_0\in\,\mathbb{N}$$ $$\, \Leftrightarrow\,\,\forall\, n \ge \,n_0,\,U_n\, \ge\, U_{n+1}$$

• On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplacant les inégalités par des inégalités strictes .

Exemples :

Methode 1 :

Considérons la suite $$\, (U_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n=n^2$$ $$\, U_{n+1}-U_n={(n+1)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1>1 .$$ (car n est un entier naturel donc positif) donc $$\, U_{n+1}-U_n>0\Leftrightarrow\,\,U_{n+1}>U_n$$ donc la suite $$\, (U_n)$$ est strictement croissante sur $$\, \mathbb{N}$$.

•Methode 2 :

Pour une suite $$\, (U_n)$$ à termes strictement positifs : comparer $$\, \frac{U_{n+1}}{U_n} .$$ et 1.

Considérons la suite $$\, (U_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n={exp n}^2$$

$$\, \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{exp (n+1)^2)}{exp n^2}=exp {(n+1)^2-n^2}=exp{n^2+2n+1-n^2}=exp{2n+1} > exp 0 $$ car la fonction exp est strictement croissante sur $$\, \mathbb{R}$$ et 2n+1 >0 .

donc $$\, \frac{U_{n+1}}{U_n}>1 $$ car $$\, exp 0=1 $$

ainsi $$\, \frac{U_{n+1}\times U_n}{U_n}\,>1\,\times U_n $$

car $$\, (U_n)$$ est à termes strictement positifs .

$$\, U_{n+1}> U_n $$ donc $$\, (U_n)$$ est strictement croissante sur $$\, \mathbb{N}$$ .

Définitions :

• Une suite $$\,(U_n)$$ est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que

$$\,\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\le\,M$$ .

• Une suite $$\,(U_n)$$ est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que

$$\,\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\ge\,M$$ .

• Une suite $$\,(U_n)$$ est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

· Si $$\,(U_n)$$ est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme $$\, U_0$$ : $$\, U_0 \le U_1\le U_2 \le .... \le U_n \le ....$$

· Si $$\, (U_n)$$ est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme $$\, U_0$$ : $$\, U_0 \ge U_1\ge U_2 \ge .... \ge U_n \le ....$$

Exemple :

· La suite $$\, (U_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1$$ est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.

· La suite $$\, (V_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4$$ est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .

· La suite $$\, (W_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n$$ est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Théorème :

• Une suite croissante et majorée est convergente .

• Une suite décroissante et minorée est convergente .

Théorème :

• Toute suite croissante non majorée, diverge vers $$\,+\infty$$ .

• Tout suite décroissante non minorée diverge vers $$\, -\infty$$ .

Exemple :

· La suite $$\, (U_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1$$ est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers $$\, +\infty$$ .

· La suite $$\, (V_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4$$ est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers $$\, -\infty$$ .

· La suite $$\, (W_n)$$ définie par $$\, \forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n$$ est bornée, elle est dite divergente .

Théorème :

Soit $$\,(U_n)$$ définie par $$\,U_0$$ et $$\, \forall n \,\in\, \mathbb{N}\,\,, U_n=f(U_{n+1}) .$$ .

Si $$\,(U_n)$$converge vers $$\, l$$ et si f est continue en $$\, l$$

alors

cette limite $$\, l$$vérifie $$\,f(l)\,=\,l$$ .

Exemple :

Considérons $$\, (U_n)$$ définie par $$\, U_0=2,5$$ et $$\, \forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_{n+1}=\frac{U_n^2}{3}$$ .

$$\, (U_n)$$ est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Donc $$\, (U_n)$$ converge vers $$\, l$$ d’après le théorème précédent .

Posons $$\, \forall x\,\, \in\,\, \mathbb{R^+},\,\, f(x)=\frac{x^2}{3}$$

On est amené à résoudre $$\,f(l)\,=\,l\Longleftrightarrow \frac{l^2}{3}=l\Longleftrightarrow l\times (\frac{l}{3}-1)=0\Longleftrightarrow l=0\,\,ou\,\,l=3$$

or

$$\, \forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_n\le 2,5$$

donc $$\, l\neq 0$$

d’où

$$\, l= 0=\lim_{n\to +\infty} U_n $$

II . Suites adjacentes :

Définition :

Dire que deux suites $$\,(U_n)$$ et $$\,(V_n)$$ sont adjacentes signifie que :

• L’une est croissante.

• L’autre est décroissante.

• $$\,\lim_{n \to +\infty} (U_n-V_n)\,=\,0.$$

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

$$\,\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}$$

$$\,\forall n\, \ge 1,\,\, U_{n+1}=\,\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}= \,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\,=\,U_n+\frac{1}{(n+1)^2}$$.

Donc $$\, U_{n+1}-U_n\,=\,\frac{1}{{n+1}^2}>0$$

donc $$\, (U_n)$$ est croissante .

$$\,\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}= \,U_{n+1}-U_n-\frac{1}{n(n+1)}$$.

$$\,\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{1}{{n+1}^2}-\frac{1}{n(n+1)}$$

$$\,\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{n}{n(n+1)^2}-\frac{n+1}{n(n+1)^2}$$

$$\,\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,-\frac{1}{n(n+1)^2}<0$$

donc $$\, (V_n)$$ est décroissante .
$$\, V_n\,-\,U_n=\frac{1}{n}$$
$$\, \fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\,-\,U_n)=0}$$

Conclusion :

Les deux suites $$\, (U_n)$$ et $$\, (V_n)$$ sont adjacentes .

Définition :

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

$$\,\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}$$

Les deux suites $$\, (U_n)$$ et $$\, (V_n)$$ sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :
$$\, \fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\)=\lim_{n\to +\infty} (U_n)=\frac{\pi^2}{6}$$

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