Cours maths terminale

Les suites numériques : cours de matsh en terminale S


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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Les suites numériques dans uncours de maths en terminale S en enseignement obligatoire. Nous étudirons la définition d’une suite numérique et son comportement.

I . Comportement d’une suite numérique :

Définition :

Une suite est une application de l’ensemble suites numériques dans l’ensemble Les suites.

.

Définitions :

• Une suite est croissante .

• Une suite est décroissante .

• Une suite est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :

• On parle aussi de suite croissante à partir d’un rang

• On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplacant les inégalités par des inégalités strictes .

Exemples :

Methode 1 :

Considérons la suite définie par (car n est un entier naturel donc positif) donc donc la suite est strictement croissante sur .

•Methode 2 :

Pour une suite à termes strictement positifs : comparer et 1.

Considérons la suite définie par

car la fonction exp est strictement croissante sur et 2n+1 >0 .

donc car

ainsi

car est à termes strictement positifs .

donc est strictement croissante sur .

Définitions :

• Une suite est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que

.

• Une suite est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que

.

• Une suite est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

· Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme :

· Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme :

Exemple :

· La suite définie par est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.

· La suite définie par est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .

· La suite définie par est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Théorème :

• Une suite croissante et majorée est convergente .

• Une suite décroissante et minorée est convergente .

Théorème :

• Toute suite croissante non majorée, diverge vers .

• Tout suite décroissante non minorée diverge vers .

Exemple :

· La suite définie par est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers .

· La suite définie par est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers .

· La suite définie par est bornée, elle est dite divergente .

Théorème :

Soit définie par et .

Si converge vers et si f est continue en

alors

cette limite vérifie .

Exemple :

Considérons définie par et .

est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Donc converge vers d’après le théorème précédent .

Posons

On est amené à résoudre

or

donc

d’où

II . Suites adjacentes :

Définition :

Dire que deux suites et sont adjacentes signifie que :

• L’une est croissante.

• L’autre est décroissante.

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

.

Donc

donc est croissante .

.

donc est décroissante .

Conclusion :

Les deux suites et sont adjacentes .

Définition :

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

Les deux suites et sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :

Les suites numériques : cours de matsh en terminale S
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