Cours maths 2de

Les fonctions numériques

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Cours sur les fonctions numériques :vocabulaire,définition,représentation graphique, image,antécédent, résolution graphique, tableau de signe, sens de variation, extrémum.

I. Définir une fonction numérique :

1. Ensemble R et intervalles :

Définition :

L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé l’ensemble des nombres réels.

On note  l’ensemble de tous ces nombres.

Certaines parties de  sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des crochets.

Ensemble des réels x tels que :  Intervalle
    
     
       
       
     

On définit de la même façon les intervalles  et .

2. Vocabulaire des fonctions numériques :

Définition :

Définir une fonction  sur une partie D de , c’est associer à tout nombre de D, un nombre unique appelé image du nombre x.

Définition et vocabulaire :

  • L’image du nombre x par la fonction  est notée f(x).
  • La fonction  est parfois notée
  • On dit que D est l’ensemble de définition de .
  • Si f(a)=b, on dit que a est un antécédent de b par f ou que b est l’image de a par .

Exemple 1 : Une fonction définie par un graphique.

L’ensemble de définition de f est l’intervalle [- 7;2].

Le nombre – 5 a pour image 2 donc f(- 5 ) = 2.

Exemple 2 : une fonction g définie par un tableau de valeurs.

Le nombre 0 a une seule image 1.

g(-1)=4 et g(3)=4 donc des antécédents de 4 par g sont -1 et 3.

Nombre x– 4– 1023
Image g(x)54124

Exemple 3 : une fonction h définie par une formule algèbrique.

La fonction  associe à un nombre réel  quelconque, le nombre .

L’ensemble de définition de h est .

Pour calculer l’image de – 5, on remplace par – 5 dans l’expression de  :

.

II. Courbes et résolutions graphiques :

1. Courbe représentative d’une fonction :

Définition :

f est une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la courbe représentative (ou représentation graphique)   de f est l’ensemble des points M(x;y) dont:

  • l’abscisse x décrit l’ensemble de définition D;
  • l’ordonnée y est l’image de x par f.

Autrement dit: M(x;y)   si, et seulement si, x  D et .

Vocabulaire:

On dit que  a pour équation  dans le repère choisi.

Exemple  :

 est la fonction définie sur  par .

Voici la courbe représentative de cette fonction :

Le point A(2;0) appartient-il à la courbe ?

oui car .

Le point B(- 2 ; – 7) appartient-il à la courbe ?

Non car .

2. Résolution graphique d’équations :

Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.

a. Equations f(x)=k (avec k un réel) :

Propriété :

Les solutions de l’équation f(x)=k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite y=k.

b. Equations f(x)=g(x)

Propriété :

les solutions de l’équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.

III. Sens de variation et extrémums :

f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative Cf dans un repère du plan.

1. Fonction croissante :

Définition :

Dire que f est croissante sur I signifie que pour tout nombre réel  et  de , si  alors .

2. Fonction décroissante :

Définition :

Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tout nombre réel  et  de , si  alors .

3. Extrémum : maximum et minimum.

a. Maximum d’une fonction :

Définition :

a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I : .

b. Minimum d’une fonction :

Définition :

a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I : .

Vocabulaire:

On dit que f(a) est un extremum de f sur I pour indiquer que f(a) est un maximum ou un minimum de f sur I.

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