Les fonctions


Les fonctions Niveau :
Posté par hhjjaa21

hhjjaa21

Bonsoir, comment je peux déterminer l'ensemble de toutes les images d'une fonction, sans avoir le graphe?

Merci


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Les fonctions Posté le 14/12/2018 - 13:44

Posté par mariepour752 points


mariepour

Bonjour

Si ta fonction est continue, tu dresses le tableau de variations de ta fonction.Tu calcules les limites et les éventuels extrémums.



Les fonctions Posté le 14/12/2018 - 15:18

Posté par hhjjaa2140 points


hhjjaa21

Est ce qu'on peut dire que pour trouver l'ensemble des images, il faut trouver le maximum et le minimum de la fonction ?

Merci



Les fonctions Posté le 15/12/2018 - 14:19

Posté par mariepour752 points


mariepour

Si ta fonction est continue, et qu'elle admet un maximum et un minimum......

si tu prends la fonction définie  de R dans R, qui à x associe sinx, le minimum est -1, le maximum est +1, l'ensemble des images est [-1;1]

Pour une fonction polynome de degré 2, de coefficiant de x² positif, et de minimum m, l'ensemble des images sera [m;+infini[

Après, si tu prends une fonction qui n'est pas continue, comme par exemple la fonction partie entière , c'est une autre hisoire. Pour la fonction partie entière , ce sera Z. Certaines fonctions sont définies par intervales, et alors tu établiras quels sont les intervales images de chaque intervale.....

Mais si tu extrapoles et que tu considère + et - l'infini comme un maximum et un minimum, et si tu ne considères que les fonctions continues, effectivement, pour avoir l'ensemble des images, il suffit de connaître le maximum et le minimum......



Les fonctions Posté le 16/12/2018 - 11:49

Posté par hhjjaa2140 points


hhjjaa21

J'ai trouver sur internet que pour trouver l'ensemble des images, il suffit de trouver la fonction reciproque et de chercher le domaine de definition de cette deuxieme fonction, qui sera l'ensemble des images.

1. Est ce que c'est une methode qui peut s'appliquer sur toutes les fonctions?

2. Pour la fonction  f(x)=\sqrt{x+4}  on a  f^{-1}(x)=x^{2}-4 

    Donc l'ensemble des image est le domaine de def de la deuxieme fonction, et qui est R.

    Pourtant dans la correction, le domaine de def est \mathbb{R}^{+}

Merci



Les fonctions Posté le 16/12/2018 - 16:50

Posté par mariepour752 points


mariepour

f a bien valeur dans R+.

f est définie sur [-4;+infty[

f est croissante;

f(4)=0 et la limite de fx) quand x tend vers + infty est  +infty.

L'ensemble des images est donc [0;+infty[

 

pour la méthode que tu as exposé...tu peux me dire où (le lien) tu l'as trouvée?

si tu fais f(f^{-1}(x)), cette fonction est définie sur R , et tu obtiens valeur absolue de x, et pas x. 

A mon sens, tu ne peux parler de réciproque que pour une bijection, et en ayant défini les ensembles de départ et d'arrivée.... 

j'ai trouvé ça sur le site de l'université en ligne:

Dans la théorie des ensembles, lorsqu'on considère une application  bijective d'un ensemble  sur un ensemble  on prouve l'existence d'une application de  dans  notée  et appelée application réciproque de  vérifiant les propriétés suivantes :

qui peuvent se schématiser par : 

On ne s'intéresse ici qu'aux fonctions numériques définies sur un intervalle  non vide et non réduit à un point de 

Toute fonction numérique  définie sur un intervalle  est une surjection de  sur 

Comme l'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle, en introduisant une propriété de continuité sur la fonction  on assure que  est un intervalle.

La fonction  admet une application réciproque définie sur l'intervalle  où  si et seulement si elle est bijective de  sur  donc si et seulement si elle est injective sur 



Les fonctions Posté le 16/12/2018 - 18:52

Posté par hhjjaa2140 points


hhjjaa21

https://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-range-of-a-function-algebraically-y-x-5-x-2

C'est ici que j'ai trouver 

Est ce que vous penser que pour definir cet ensemble, la technique qu'il faut faire depand totalement du type de la fonction?

J'ai apprecié ce que la dame a dit sur le site parce que les etapes sont assez simple, il faut juste remplacer x par y dans la fonction et apres resoudre l'equation pour y. Et BAHM! trouver le domaine de definition qui sera l'ensemble des images.

Merci et bonne soirée



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 11:46

Posté par hhjjaa2140 points


hhjjaa21

Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Mercii



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 12:54

Posté par mariepour752 points


mariepour

Bonjour

le soucis c'est que toutes les fonctions n'ont pas de réciproque, et que montrer que ta bonction est bijective n'est pas évident ....En gros il faut que à tout élément de l'ensemble d'arrivée corresponde un unique élément de l'ensemble de départ. Cela implique donc de connaître l'ensemble des images, et c'est ce que tu cherches.....

Sur le forum que tu cites, pour moi la méthode est un bidouillage dangereux; Ainsi, dans l'exemple que tu donnes, la fonction que tu as appelé f^{-1} n'est pas a réciproque de f. parce que f(f^{-1}(x))=%7Cx%7C

et pas x. 

Je continue sur un autre post.



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 13:52

Posté par mariepour752 points


mariepour

Si je reprends l'exemple f(x)=(x+5)/(x-2)

cette fonction est défine sur R/{2}. la dérivée est f'(x)=-7/(x-2)², f est donc décroissante.

\begin{array}{c%7Clcccc}\,x\,%26-\infty\,%26\,%262%26\,%26+\infty\\\hline\,f%27(x))\,%26%26\,-\,%26\,%26\,-\,%26\\\,f(x))%26\,^1\,%26\searrow%26\,_{-\infty}\,^{+\infty}\,%26\searrow%26\,_1\,\\\,%26\,%26\,%26%26\,%26\,\\\,\end{array}

il s'en suit que l'ensemble des images est ]-infty;1[ U]1;+infty[

 



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 14:40

Posté par hhjjaa2140 points


hhjjaa21

Je comprend que la technique n'est pas applicable pour toute les fonctions, parce qu'il faut que tout element d'arrivé correspond a un unique element de depart, ce qui n'est pas toujours le cas. 

J'ai une question concernant la fonction surjective.

Je sais qu'une fonction signifie que chaque element d'entree a un unique element de sortie. Alors que dans la surjective c'est deux elements d'entree different qui donnent le meme element de sortie. Est ce que c'est une fonction quand meme? Parce que je vois une contradiction avec la deffinition de la fonction.

Merci



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 15:44

Posté par hhjjaa2140 points


hhjjaa21

Je comprend que la technique n'est pas applicable pour toute les fonctions, parce qu'il faut que tout element d'arrivé correspond a un unique element de depart, ce qui n'est pas toujours le cas. 

J'ai une question concernant la fonction surjective.

Je sais qu'une fonction signifie que chaque element d'entree a un unique element de sortie. Alors que dans la surjective c'est deux elements d'entree different qui donnent le meme element de sortie. Est ce que c'est une fonction quand meme? Parce que je vois une contradiction avec la deffinition de la fonction.

Merci



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 17:04

Posté par mariepour752 points


mariepour

Ouh là.même les rof s'y cassent le nez.....Il faut bien bien vérifier les sources, parce qu'on trouve trout et n'importe quoi.

Tu as écrit:Je sais qu'une fonction signifie que chaque element d'entree a un unique element de sortie.

ça, c'est une application.

Une fonction fait correspondre à chaque élément de l'ensemble de départ AU PLUS un élément de l'ensemble d'arrivée.  C'est pour ça qu'on vous demande l'ensemble de définition des fonctions. Si tu restreins l'enemble de départ à l'ensemble de définition, là tu as une application.



 
f:R→R définie par f(x)=1/x est une fonction (dont tu as la charge de trouver le domaine de définition) mais pas une application. 

Par contre 
f:R∗→R définie par f(x)=1/x est une application car bien définie sur tout l'espace de départ. 

POur ce qui est de la fonction surjective, tout élément de l'ensemble d'arrivée doit avoir au moins un antécédant. Ou 2, ou 3...........

 



Les fonctions Posté le 18/12/2018 - 17:05

Posté par mariepour752 points


mariepour

Tu remarqueras que sur le dessin l'ensemble de départ est restreint à l'ensemble de définition de la fonction.

 







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