Cours maths terminale

Le théorème de Bézout


Mise à jour le 7 février 2018  |  Signalez une ERREUR

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Le théorème de Bézout dans un cours d’arithmétique pour les élèves de terminale S spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

Soient a et b  deux entiers naturels non nuls.Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que 
au + bv = 1.

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note $$\,\Delta\,=PGCD(a,b)$$

$$\,\Delta$$ divise a et b donc $$\,\Delta$$ divise au + bv.Comme au + bv  = 1, $$\,\Delta$$ = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit $$\,\varphi$$ l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec $$\,u\,\in\,\mathbb{Z}$$ et $$\,v\,\in\,\mathbb{Z}$$.

L’ensemble $$\,\varphi$$ n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, $$\,a\in\varphi$$.Il en est de même pour b.

Ains $$\,\varphi$$ contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plsu petit que tous les autres.

Notons $$\,m=au_1+bv_1$$ ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit $$\,a=mq+r$$ avec $$\,0\leq\,\,r<m$$

soit $$\,r=a-mq=a-(au_1+bv_1)q=a(1-u_1q)+b(-v_1q)$$.

Ainsi $$\,r\in\varphi$$.Or m est le plus petit entier strictement positif de $$\,\varphi$$ donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et $$\,au_1+bv_1=1$$.

En pratique, comment trouver u et v ?

Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

$$\,89=41\times \,2+7$$ donc $$\,7=89-2\times \,41=a-2b$$.

$$\,41=7\times \,5+\,6$$ donc $$\,6=41-7\times \,5=b-5(a-2b)=11b-5a$$.

$$\,7=6\times \,1\,+1$$ donc $$\,1=7-6=a-2b-11b+5a=6a-13b$$.

Soit $$\,89\times \,6\,+41\times (-13)=1$$.

Ainsi $$\,(x_0;y_0)=(6;-13)$$ est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème

Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Dire que $$\,\Delta$$ est le $$\,PGCD(a,b)$$ équivaut à dire que $$\,\Delta$$ est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que $$\,\Delta\,=au+bv$$.

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