Cours maths 1ère

Le produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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Le produit scalaire dans le plan dans un cours de maths en 1ère S où nous étudierons la définition et les différentes propriétés du produit scalaire. Dans cette leçon en première S, nous verrons la relation entre le produit scalaire et la notion d’orthogonalité. Puis, nous terminerons par des applications avec le cosinus d’un angle, le théorème d’Al-Kashi et le théorème de la médiane.

I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient et deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

et .

• Si et sont de même sens : .

• Si et sont de sens contraires : .

• Si ou alors .

est le carré scalaire du vecteur

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2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient et deux vecteurs non nuls tels que

et .

Alors :

.

A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

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3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs et dans un repere orthonormé quelconque.

.

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que et sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :

• Soit ou ;

• Soit (OA)(OB), avec et non nuls.

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2. Propriété :

Propriété :

.

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés :

Propriétés :

Soient trois vecteurs et k un nombre réel.

(symétrie).

(linéarité)

(linéarité)

(linéarité)

(identite remarquable)

(identite remarquable)

(identite remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit et non nuls.

2. Théorème d’Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.

On a :

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3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .

Pour tout point M, :

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