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Racine carrée : cours de maths en 3ème


Mise à jour le 19 décembre 2019  |   Signalez une ERREUR  | 

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Un cours de mathématiques sur les systemes d’équations du premier degré à deux inconnues.Méthode par combinaison linéaire( dite par addition) et méthode par substition et graphique.Résolution de problème mathématique amenant à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

 

I. Racine carrée d’un nombre positif :

Définition :

La racine carrée d’un nombre positif  a est le nombre positif noté \sqrt{a} dont le carré est  a . c’est à dire :  (\sqrt{a})^2=a

Remarques :

15$ \sqrt{ .} s’appelle le radical et  \sqrt{a} se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ».

 \sqrt{a} n’a pas de sens si a est un nombre négatif.

 

Exemples :

1)  \sqrt{144}=12 car 12 est positif et 12²=144.

2)  \sqrt{0}=0car 0² = 0.

3)  \sqrt{-4}=0 n’a pas de sens car –4 est un nombre négatif.

Définition :

On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier.

Exemples :

1) 16 est un carré parfait car 16 = 4², et  \sqrt{16}=4 .

2) 40 000 est un carré parfait car 40 000 = 200², et  \sqrt{40\,000}=200

II. Règles de calculs sur les radicaux :

1. Produit de racines :

Propriété 1:

Pour tous nombres a et b positifs , on a : \fbox{ \sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}}

Exemples :

1.  \sqrt{15}=\sqrt{5\times 3}=\sqrt{5}\times \sqrt{3} 2.  \sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=\sqrt{4}\times \sqrt{2}=2sqrt{2} 3.  \sqrt{49\times 81}=\sqrt{49}\times \sqrt{81}=7\times 9=63

propriété 2 :

Pour tout nombre positif a, on a \fbox{ (\sqrt{a})^2=\sqrt{a^2}=a}

Preuve :

Par définition : (\sqrt{a})^2=a

En utilisant la propriété 1 : \sqrt{a^2}=\sqrt{a\times a}=\sqrt{a}\times \sqrt{a}=(\sqrt{a})^2=a

Exemples :

 \sqrt{144}=\sqrt{12^2}=12

 \sqrt{162}=\sqrt{2\times 81}==\sqrt{2}\times \sqrt{ 81}=9\sqrt{2} .

Attention :

Il n’y a aucune règle générale pour la somme et la différence de radicaux !

Contre-exemples :

1.  \sqrt{16}+\sqrt{9}=\,4+3=7\,\,\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

donc  \sqrt{16+9}\neq\sqrt{16}+\sqrt{9}

2.  \sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2

 \sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6

donc  \sqrt{100-64}\neq\sqrt{100}-\sqrt{64}

2. Quotient de racines :

Propriété :

Pour tous nombres a et b positifs , on a : \fbox{ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}

Exemples :

 \sqrt{\frac{81}{64}}=\frac{\sqrt{81}}{ \sqrt{64}}=\frac{9}{8}

 \sqrt{\frac{72}{36}}=\frac{\sqrt{72}}{ \sqrt{36}}=\frac{\sqrt{9\times 8}}{6}=\frac{\sqrt{9}\times \sqrt{8}}{6}=\frac{3\sqrt{8}}{6}

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