Cours maths terminale

La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale S


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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La fonction logarithme népérien avec un cours de maths en terminale S faisant intervenir la définition du logarithme et ses propriétés en terminale S.

I. Définition de la fonction logarithme népérien :

Pour tout réel  de , il existe un unique réel y tel que .

Définition :

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; [ qui à tout réel x>0, associe le réel noté ln(x) dont l’exponentielle est  x.

Remarque :

L’image d’un réel strictement positif x par la fonction ln se note souvent ln x au lieu de ln(x).

Conséquences :

1. Pour tout réel x>0 et tout réel y,  équivaut à .

2. Pour tout réel x>0, .

3. Pour tout réel x, 

Démonstration :

(1) et (2) se déduisent directement de la définition.

(3) Pour tout réel x, si y= alors d’après (1)   donc x=y.

Autres conséquences :

.En effet  et d’après (1) ceci équivaut à .

.En effet  et d’après (1) ceci équivaut à .

Pour tout réel , l’équation  a pour unique solution  d’après (1).

Propriété :

Dans un reprère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentilelles et logarithmes népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Démonstration :

ON note  et   les courbes représentatives des fonctions exp et ln.

Dire que  appartient à   équivaut à dire que   appartient à .

 et  sont donc symétriques par rapport à la droite y=x.

II. Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur  :

Propriété :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .

Démonstration :

a et b sont deux réels tels que , c’est à dire que .

La fonction exponentielle est strictement croissante sur  donc .

Conséquences :

Pour tous réels a et b de :

  •   équivaut à  et  équivaut à .
  •   équivaut à  et  équivaut à  .

III. Les propriétés algébriques :

1. Relation fonctionnelle :

Théorème :

Pour tout réels a et b de .

Démonstration :

a et b sont deux réels strictement positifs.On note A=lnab et B=ln a + ln b alors

 et 

donc  d’où A=B puisque la fonction exponentielle est bijective sur .

2. Logarithme d’un quotient :

Propriété :

Pour tout réel a de .

Démonstration :

Pour a>0, on écrit  donc 

c’est à dire  d’où .

Propriété :

Pour tous réels a et b de .

Démonstration :

Pour a>0 et b>0, .

3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs :

Propriété :

Pour tous réels  de ,

Remarque :

Cette formule généralise la relation fonctionnelle établie dans le paragraphe 1. et peut se démontrer par récurrence.

Propriété :

Pour tout réel a de  et tout entier relatif n, .

Démonstration :

La démonstration de cette propriété se fait par récurrence et sur le signe de n.

4. Logarithme d’une racine carrée :

Propriété :

Pour tout réel a de .

Démonstration :

Pour a>0,  donc 

ainsi 

d’où 

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