Cours maths terminale

La fonction exponentielle : cours de maths en terminale S


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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La fonction exponentielle avec un cours de maths en terminale S où nous étudierons une première approche à l’aide des equations differentielles. Puis nous verrons les différentes propriétés,les  définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction.

I . Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1 :

Définition :

Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.

La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.

Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur telles que pour tout réel x :

f’(x) = f(x).

L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.

Propriété :

S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur I.

Théorème :

Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que f’ = f et f(0) = 1.

C’est la fonction exponentielle, notée exp.

II . Propriétés algébriques :

Théorème :

Relation fonctionnelle caractéristique :

La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :

• Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)

• f’(0) = 1

Propriétés :

Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :

Remarque :

Pour tout réel a :

Donc pour tout réel a, exp(a)>0.

Notations :

On pose :

Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :

Propriétés :

III . Etude de la fonction exponentielle :

Théorème :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Propriétés :

Théorème :

Théorème :

La fonction x 1+x est l’approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

Théorème :

On admet que ce théorème se généralise et qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.

Exemples :

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