Fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.

Sommaire

La fonction exponentielle avec un cours de maths en 1ère où nous étudierons une première approche à l’aide des équations différentielles.

L’essentiel : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa dérivée et valant 1 en 0 : $f’=f$ et $f(0)=1$. Elle transforme les sommes en produits, $e^{a+b}=e^a\times e^b$, et elle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Puis nous verrons les différentes propriétés, les définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction pour les élèves de première.

I . Equation différentielle f ’ = f avec f(0) = 1. :

Définition :

Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.

La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.

Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout réel x :

$f'(x)\,=\,f(x)$ .

L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.

Propriété :

S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que $f'\,=\,f$ et $f(0)\,=\,1$ alors f ne s’annule pas sur I.

Théorème :

Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que $f'\,=\,f$ et $f(0)\,=\,1$ .

C’est la fonction exponentielle, notée .

II . Propriétés algébriques :

Théorème : Relation fonctionnelle caractéristique.

La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :

Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)

f’(0) = 1

Propriétés :

Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :

$\exp(-a)=\frac{1}{\exp(a)}$
$\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$
$\exp(n a)=(\exp(a))^n$

Remarque :

Pour tout réel a :

$\exp(a)=\exp(\frac{a}{2}+\frac{a}{2})=\exp(\frac{a}{2}).\exp(\frac{a}{2})=[\exp(\frac{a}{2})]^2>0$

Donc pour tout réel , .

Notations :

$\forall n \in \mathbb{N},\, \exp(n)=\exp(n\,\times \,1)=(\exp(1))^n.$

On pose :

$e=\exp(1)\,\, alors\,\,\exp(n)=e^n .$

Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :

$\fbox{\forall x\in \mathbb{R},\,\exp(x)=e^x .}$

Propriétés :

$\forall a, b\in \mathbb{R},$

$\,exp(0)=1.$
$exp(a+b)=exp(a)\times exp(b).$
$exp(-a)=\frac{1}{exp(a)} .$
$exp(na)={[exp(a)]}^n .$
$exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)} .$

III . Etude de la fonction exponentielle.

Théorème :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$ .

Propriétés :

$\forall (x,y)\in\mathbb{R^2}.$

$x=y\Longleftrightarrow exp x =exp y .$
$x<y\Longleftrightarrow exp x <exp y .$

Théorème :

$\lim_{x \to +\infty} exp x=+\infty.$

$\lim_{x \to -\infty} exp x= 0^+.$

Théorème :

$\lim_{x \to 0} \frac{exp x -1}{x}=1.$

$Pour \,\,x \,\,proche\,\, de\,\, 0,\,\,exp x \approx 1+x.$

La fonction x $\mapsto$ 1+x est l’approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

Théorème :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{exp x}{x}=+\infty.$

$\lim_{x \to -\infty} x exp x=0.$

On admet que ce théorème se généralise et qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.

Exemple :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{exp x}{3x^2+5x+1}=+\infty.$

$\lim_{x \to -\infty} exp x\times (3x^5+5x^3+1)=0.$

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