Position relative d’une droite et d’un plan dans l’espace : cours de maths en 2de

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre
◮ Connaître les formules d’aires des figures usuelles
◮ Connaître les formules de volumes des solides usuels
◮ Se repérer dans une figure en perspective cavalière
◮ Construire un patron d’un solide usuel

I. Les solides usuels

Définition :
Un solide est un objet en relief.
On ne peut pas le tracer en vraie grandeur sur une feuille de papier plane.

Remarques :
 Un patron permet de fabriquer le solide par pliage;
 La perspective cavalière permet de représenter le solide sur une feuille papier en donnant
l’impression de la 3D.

II. Droites et plans

1. Qu’est-ce qu’un plan ?

Propriété :
Soit A, B, C trois points de l’espace distincts et non alignés.
 Pour déterminer un plan, il suffit de donner 3 points non alignés ou 2 droites sécantes ou 2 droites parallèles (non confondues).
 Le plan noté (ABC) est constitué par les points des droites passant par A et parallèles ou sécantes à la droite (BC).

Remarque :

Dans chaque plan de l’espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie
plane.

Exemple :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que :
• AB = 7 cm • I est le milieu de [AB]
• AD = 6 cm • J est le milieu de [AD]
1) Nommer le plan colorié.
2) Calculer la longueur BD.

Correction
1) Le plan colorié coupe les arêtes du pavé en I, J, K et L, (I JK) est donc un nom possible.
2) La face ABCD du pavé est un rectangle donc le triangle ABD est rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore :
BD2 = BA2 + AD2 = 72 + 62 = 49 + 36 = 85.
Une longueur est toujours positive donc BD = cm.

2. Positions relatives de deux droites

Définition :
Deux droites incluses dans un même plan sont dites coplanaires.
Propriété :
Deux droites de l’espace sont soit coplanaires soit non coplanaires :

3. Positions relatives de deux plans en géométrie dans l’espace

Propriété :

 Un plan coupe deux plans parallèles suivant deux droites parallèles.
 Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont    respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

Remarque :

Deux plans confondus sont considérés comme parallèles.

4. Positions relatives d’une droite et d’un plan

Propriété :

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan.