Généralités sur les fonctions usuelles : cours de maths

Sommaire

Les généralités sur les fonction numériques et les fonctions usuelles à travers un cours de maths en 2de. Dans cette leçon, nous étudierons les fonctions carrée, affine, linéaire, inverse et racine carrée ainsi que leur courbe représentatives. L’élève de vra être capable de calcul une image ou de déterminer un antécédent pas le calcul ou graphiquement.

I. Fonctions affines

1. Définition

Définition :

Soient a et b deux réels donnés.Lorsque à chaque réel x, on associe le réel ax + b, on définit une fonction affine f et on note $f:x \mapsto ax+b$ ou la fonction f définie par .

Exemple :

Les fonctions f et g respectivement définies sur $\mathbb{R}$ par f(x) = 3x + 5 et g(x) = 2x – 7 sont des fonctions affines.

Remarque :

· Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple, f(x) = -3x.

· Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.

2.Représentation graphique d’une fonction affine :

Définition :

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction

affine $f:x \mapsto ax+b$ est une droite. On dit que cette droite a pour équation y = ax + b et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l’origine.

Cette droite passe par le point P(0 ; b).

Conséquences :

· Dans le cas d’une fonction linéaire $f:x \mapsto ax$ , la droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère. L’image est proportionnelle à la variable.· Dans le cas d’une fonction constante, la droite d’équation y = b est parallèle à l’axe des abscisses. L’image est constamment égale à b.

II. fonctions affines et taux de variation

Théorème :

Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Alors, pour tous u et v tels que $u\neq v$ , $\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=a$ .

Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v; il traduit la proportionnalité des écarts des images de la fonction par rapport aux variables.

Exercice :
Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2).

Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ? Deux méthodes sont demandées.

III. Sens de variation d’une fonction affine

Théorème :

Soit $f:x \mapsto ax+b$ une fonction affine.

Si a > 0 alors f est croissante sur $\mathbb{R}$ .
Si a = 0 alors f est constante sur $\mathbb{R}$ .
Si a < 0 alors f est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Démonstration :

Soient u et v deux nombres réels tels que u < v.

f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v)

Si a est positif, alors a > 0 et comme u – v < 0, on déduit que f(u) – f(v) < 0 puis f(u) < f(v)

Donc f est strictement croissante sur [0 ; + $\infty$ [.

Si a est négatif, alors a < 0 et comme u – v < 0, on déduit que f(u) – f(v) > 0 puis f(u) > f(v)

Donc f est strictement croissante sur [0 ; + $\infty$ [.

Si a = 0 alors f(u) = b pour tout u et f est constante.

IV La fonction carrée

Définition :

Il s’agit de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = x².

1.Tracé point par point de la courbe représentative de f.

On peut alors tracer la courbe représentative de f.

La courbe représentative de f s’appelle une parabole.

2. Etude de la parité de f

Soit $x\in\mathbb{R}$ , alors $-x\in\mathbb{R}$ .

Comparer $f(x) \,et \,f(-x)\, : \,f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ .

On dit que f est une fonction paire.

Graphiquement, cela signifie que les points et qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

3. Sens de variation de f

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.

	– $\infty$ 0 + $\infty$
		f est strictement croissante sur [0 ; + $\infty$ [.f est strictement décroissante sur ] – $\infty$ ; 0].

Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.

f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(a – b)

Si a et b sont positifs ou nuls, alors a + b > 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) < 0

Donc f est strictement croissante sur [0 ; + $\infty$ [.

Si a et b sont négatifs ou nuls, alors a + b < 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) > 0

Donc f est strictement décroissante sur ] – $\infty$ ; 0].

V. La fonction inverse.

Définition :

Il s’agit de la fonction g définie sur $\mathbb{R}^*$ = ] – $\infty$ ; 0[ ∪ ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x)=\frac{1}{x}$ .

1. Tracé point par point de la courbe représentative de g.

On peut alors tracer la courbe représentative de g.

La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.

2. Etude de la parité de g.

Propriété :

Soit $x\in\mathbb{R}$ alors $-x\in\mathbb{R}$ .Comparer g(x) et g(-x) : $g(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-g(x)$ .

On dit que g est une fonction impaire.

Graphiquement, cela signifie que les points et qui sont des points de la courbe représentative de g sont symétriques par rapport à l’origine du repère.

La représentation graphique de g admet donc l’origine du repère pour centre de symétrie.

3. Sens de variation de g.

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de g.

Tableau de variation

Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de en PDF. – figure 2

g est strictement décroissante sur ]- $\infty$ ; 0[ et sur ]0 ; + $\infty$ [.

Démonstration :

si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b.

$g(a)-g(b)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$

Si a et b sont strictement positifs, ab > 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]0 ; + $\infty$ [.

Si a et b sont strictement négatifs, ab < 0 et comme b – a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]- $\infty$ ; 0[.

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