Cours maths 2de

Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

cours de maths en 2de https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/cours-maths-2de.png https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/cours-maths-2de-150x150.png0 https://www.mathovore.fr/generalites-sur-les-fonctions-et-fonctions-usuelles-cours-maths-303#respond
962
 Cours sur les généralités en 2de sur les fonction numériques et les fonctions usuelles . Dans cette leçon en seconde, nous étudierons les fonctions carrée, affine, linéaire, inverse et racine carrée.

I. Fonctions affines

1.   définition

Définition :

Soient a et b deux réels donnés. Lorsqu’à chaque réel x, on associe le réel  ax + b, on définit une fonction affine f et on note f:x \mapsto   ax+b  ou la fonction f définie par  f(x)=ax+b.

Exemple : les fonctions  f et g respectivement définies sur \mathbb{R}par  f(x) = 3x + 5  et  g(x) = 2x – 7 sont des fonctions affines.

Remarque :

·  Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple,  f(x) = -3x.

·  Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.

Représentation graphique d’une fonction affine :

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction

affine  f:x \mapsto   ax+b est une droite. On dit que cette droite a pour équation  y = ax + b  et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l’origine.

Cette droite passe par le point P(0 ; b).

conséquences :

·  Dans le cas d’une fonction linéaire f:x \mapsto   ax, la droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère. L’image est proportionnelle à la variable.

·  Dans le cas d’une fonction constante, la droite d’équation  y = b est parallèle à l’axe des abscisses. L’image est constamment égale à b.

2. fonctions affines et taux de variation

Théorème :

Soit  f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Alors, pour tous u et v tels que u\neq v\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=a.

Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v; il traduit la proportionnalité des écarts des images de la fonction par rapport aux variables.

Exercice : Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2).

Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ? Deux méthodes sont demandées.

3. Sens de variation

Théorème :

Soit f:x \mapsto   ax+b une fonction affine.

Si  a > 0  alors  f est croissante sur \mathbb{R}.

Si  a = 0  alors  f est constante sur \mathbb{R}.

Si  a < 0  alors  f est décroissante sur \mathbb{R}.

Démonstration :

Soient u et v deux nombres réels tels que u < v.

f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v)

Si a est positif, alors  a  > 0  et comme  uv < 0, on déduit que  f(u) – f(v) < 0 puis f(u) < f(v)

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.

Si a est négatif, alors a  < 0  et comme  uv < 0, on déduit que  f(u) – f(v) > 0 puis f(u) > f(v)

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.

Si a = 0 alors f(u) = b pour tout u et f est constante.

II La fonction carrée

Il s’agit de la fonction  f définie sur \mathbb{R} par  f(x) = x2.

1.Tracé point par point de la courbe représentative de f.

On peut alors tracer la courbe représentative de f.

La courbe représentative de f s’appelle une parabole.

2. Etude de la parité de f

Soit x\in\mathbb{R}, alors-x\in\mathbb{R}.

Comparer f(x) \,et \,f(-x)\, : \,f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x).

On dit que  f est une fonction paire.

Graphiquement, cela signifie que les points M(x ; f(x))et M'(-x ; f(-x)) qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

3. Sens de variation de  f

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.

x

 – \infty                0                     + \infty

f

            f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.f est strictement décroissante sur ] – \infty ; 0].

Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.

f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(ab)

Si a et b sont positifs ou nuls, alors  a + b > 0  et comme  ab < 0, on déduit que  f(a) – f(b) < 0

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; + \infty [.

Si a et b sont négatifs ou nuls, alors  a + b < 0  et comme  ab < 0, on déduit que  f(a) – f(b) > 0

Donc  f est strictement décroissante sur ] – \infty ; 0].

III La fonction inverse

Il s’agit de la fonction g définie sur \mathbb{R}^*= ] – \infty ; 0[ ∪ ]0 ; + \infty [ par g(x)=\frac{1}{x} .

 

1. Tracé point par point de la courbe représentative de g

On peut alors tracer la courbe représentative de g.

La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.

2. Etude de la parité de g

Soit x\in\mathbb{R} alors -x\in\mathbb{R}.

Comparer g(x) et g(-x) : g(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-g(x).

On dit que g est une fonction impaire.

Graphiquement, cela signifie que les points M(x ; g(x))et M'(-x ; g(-x)) qui sont des points de la courbe représentative de g sont symétriques par rapport à l’origine du repère.

La représentation graphique de g admet donc l’origine du repère pour centre de symétrie.

3.   sens de variation de g

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de g.

Tableau de variation

           g est strictement décroissante sur ]- \infty ; 0[ et sur ]0 ; + \infty [.

Démonstration :

si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b.

g(a)-g(b)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}

Si a et b sont strictement positifs, ab > 0 et comme ba > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]0 ; + \infty [.

Si a et b sont strictement négatifs, ab < 0 et comme b a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]- \infty ; 0[.

Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles : cours de maths en 2de
3 (60%) 1 vote



Les derniers topics du forum

Retrouvez les derniers topics ajoutés et des demandes d'aide formulées par les élèves. Une communauté dynamique d'aide en ligne qui vous permettra de résoudre vos exercices, DM ou de résoudre un problème dont vous n'arrivez pas à trouver la solution.


D'autres documents similaires

Inscription gratuite à Mathovore. Rejoignez les 129049 Mathovoristes, inscription gratuite.

https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/cours-maths-2de.png
Mathovore

GRATUIT
VOIR