Géométrie et nombres complexes


Géométrie et nombres complexes Niveau : terminale
Posté par Mulher

Mulher

Bonsoir je suis Vanilla et j'ai 16 ans, je suis en terminale scientifique et je vous sollicite afin de m'aider.

J'ai un exercice à effectuer pour Vendredi en guise d'entraînement pour un futur contrôle. 

Voici l'énoncé : 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ;  ;  ) (  il y a des flèches sur le u et le v ).  On considère deux points distincts A et C d'affixes respectives a et c.  On suppose que les points O, A et C ne sont pas alignés. On note B et D les points d'affixes respectives b = - i a et d = i c. 

1 )  Dans cette situation, on suppose que a = 3 + 1/4 i et c = 1/2 - sqrt  ( 3 ) / 2 i.  Sur une figure, placer et construire ( c'est-à-dire à la règle non graduée et au compas ) lorsque nécessaire les points O, A, B, C et D. On justifiera les constructions de B, C et D. 

Dans les questions suivantes, on revient au cas général. On suppose que les points B et C sont distincts et donc A et D le sont aussi.

2 )  calculer les affixes des vecteurs AB et BC (  il y a une flèche ). Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont perpendiculaires. 

3 ) On désigne par I le milieu du segment [ AC ]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l'on précisera, démontrer que la médiane ( OI ) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que DB = 2 OI. 

4 ) La médiane issue de O du triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse. 

Ce que j'ai fait : 

1 ) J'ai placé les points sur mon repère en lien avec ce qui est donnée dans l'énoncé. Je ne peux pas vous montrer car je ne sais pas comment faire. 

2 ) Calcul des affixes, 
AB ( flèche ) = zD - zA  = -ic - a 
BC ( flèche ) = zC - zB = c + ia 

Calcul des longueurs,
AD ( flèche ) = l zD - zA  l = l ic - a l = √((ic)²+ ( -a) ²) = √( - c² + a ²). 
BC ( flèche ) = l zC - zB l = l c + ia l = √((c)² + ( ia ) ²)= √( c² - a² ).  

Perpendiculaire,
J'ai utilisé la définition, AD et BC sont perpendiculaires si et seulement si (AD; BC) = π/2 + kπ ( k € Z ).
J'ai donc c'est l'argument ((zC-zB) /(zD-zA)). 
Cela revient à montrer que ce complexe est un imaginaire pur.

3 et 4 je ne vois pas comment faire et je ne sais pas si mes calculs précédents sont bons. J'espère que quelqu'un pourra m'éclairer afin de résoudre cette exercices pour un futur contrôle. Merci d'avance. Cordialement.


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Géométrie et nombres complexes Posté le 18/01/2018 - 00:32

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de mathmatiques Admin819 points


Maginot20

Bonsoir,

Tu ne peux pas calculer les modules comme tu le fais (avec la racine carrée) car a, b et c sont des nombres complexes.

$$\,$$
$$\,Z_{\overrightarrow{AD}}=ic-a=ic+i^{2}a=i(c+ia)=i*Z_{\overrightarrow{BC}}$$

En utilisant les propriétés du module et de l'argument du produit de nombres complexes tu dois repondre maintenant à la question n°2.

Bonne soirée







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