12 exercices sur les nombres complexes en terminale S obligatoire.

Des exercices sur les nombres complexes en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué, d’argument, les formules de Moivre et d’Euler ainsi que les écritures arithmétiques et géométriques.

Exercice 1 :

Mettre les nombres complexes sous la forme a + ib (a et b réels).

$(2-5i)(3+i)$
$\frac{1}{i}$
$\frac{3+2i}{1-i}$
$1+\frac{i-1}{i+1}$
$(1+i)^3$
$1+i+i^2+i^3+i^4+i^5$
$\frac{1+2i}{(2+i)(2-\sqrt{3}i)}$

Exercice 2 :

Soit z=x+iy un nombre complexe (x et y réels).

On demande de calculer la partie réelle et la partie imaginaire de Z puis de déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel ou imaginaire pur.

$Z=\frac{z-i}{z+1-2i}$
$Z=\frac{i(z+1)}{z-2i}$
$Z=\frac{2+\overline{z}}{1+\overline{z}}$

Exercice 3 :

Soit $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Calculer $j^2;j^3;1+j+j^2.$

Corrigé de cet exercice

Exercice 4 : théorème de Von Aubel.

On considère un quadrilatère ABCD de sens direct.

On construit quatre carrés de centres respectifs P, Q, R et S qui s’appuient extérieurement sur les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] du quadrilatère ABCD (voir figure).

Le but du problème est de démontrer que les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et de même longueur.

Théorème de Von Audel

On note a, b, c, d, p, q, r et s les affixes respectives des points A, B, C, D, P, Q, R et S dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$ de sens direct.

Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a $p=\frac{a-ib}{1-i}$ .Etablir des relations analogues pour p, q, r et s en raisonnant dans les trois autres carrés.
Calculer $\frac{s-q}{r-p}$ puis conclure.

Corrigé de cet exercice

Exercices 5 : théorème de Napolèon.

On munit le plan d’un repère $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$ de sens direct.

Partie A : des caractérisations du triangle équilatéral.

On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ .Soient U, V et W trois points du plan d’affixes respectives u, v, w.

Démontrer l’équivalence suivante : UVW est équilatéral de sens direct $\Leftrightarrow u-v=-j^2(w-v)$ .
Démontrer l’équivalence suivante : UVW est équilatéral de sens direct $\Leftrightarrow u+jv+j^2w=0$ .

Partie B : démonstration du théorème de Napoléon.

ABC est un triangle quelconque de sens direct.On construit les points P, Q et R tels que BPC, CQA et ARB soient des triangles équilatéraux de sens direct.

On note U, V, W les centres de gravité de BPC, CQA et ARB respectivement.

Démontrer que UVW est équilatéral de même centre de gravité que ABC.

Théorème de Napoléon

Corrigé de cet exercice

Exercice 6 : montrer qu’un complexe est un réel ou imaginaire pur.

Démontrer les équivalences suivantes :

$Z\,reel\Leftrightarrow Z=\overline{Z}$ .
$Z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow (Z=0\,ou\,arg(Z)=0[\pi])$ .
$Z\,imaginaire\,pur\Leftrightarrow Z+\overline{Z}=0$ .

Corrigé de cet exercice

Exercice 7 : racines de l’unité et applications.

Soit un entier naturel.On appelle racine nième de l’unité tout nombre complexe tel que $z^n=1$ .

On note $U_n$ l’ensemble des racines nième de l’unité.Par exemple $U_2=\left \{ -1;1 \right \}$ .

1.Démontrer que $U_n={e^{\frac{2ik\pi}{n}},k\in\left \{ 0,1,2,...,n-1 \right \}}$ .

démontrer que la somme des racines nièmes de l’unité est nulle.

Démontrer que, dans un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$ , les images $A_k(0<k<n-1)$ des nombres $w_k={e^{\frac{2ik\pi}{n}} }$ sont les sommets d’un polygone régulier.

Corrigé de cet exercice

Exercice 8 : lieu de points.

Soit z un nombre complexe différent de 1.On note M le point du plan complexe d’affixe z.

On pose $Z=\frac{z+1}{z-1}$ .

Déterminer l’ensemble :

1.E des poins M tels que Z soit réel.

2.F des points M tels que $\left |Z \right |=1$ .

3.G des points M tels que $arg(Z)=\frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Corrigé de cet exercice

Exercice 9 : identité du parallélogramme.

Démontrer que pour tous nombres complexes Z et Z ‘, on a :

Indication : utiliser la relation $\left |Z\right |^2=Z\overline{Z}$
Interpréter géométriquement.

Corrigé de cet exercice

Exercice 10 : utilisation des nombres complexes.

Soient a, b nombres entiers relatifs.On suppose que a et b sont la somme de deux carrés :

il existe x, y $\in \mathbb{Z}$ tels que $a=x^2+y^2$ et il existe $z,t\in \mathbb{Z}$ tels que $b=z^2+t^2$ .

Démontrer que le produit ab est encore la somme de deux carrés.

Indice : écrire $(x^2+y^2)=\left |x+iy \right |^2$ .

Corrigé de cet exercice

Exercice 11 : écriture complexe d’une transformation.

1. Soit f la transformation du plan complexe qui à M(z) associe M ‘ (z) tel que $z'=az+3i$ .

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f lorsque a = 2, puis lorsque a = – i.

2. On donne A(1), B(2+i), A ‘ (2i) et B ‘ (1+i).

Vérifier que AB=A’B’.

Démontrer qu’il existe une unique rotation r telle que r(A) = A’ et r(B) = B’.La déterminer..

Corrigé de cet exercice

Exercice 12 : calcul de cosinus et sinus.

1.Résoudre dans $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ , le système suivant :

$\left\{\begin{matrix} u+v =-\frac{1}2{ \\ uv=-\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

2. On pose $w=e^{\frac{2i\pi}{5}}$ .

Démontrer que $w^0+w^1+w^2+w^3+w^4+w^5=0$ .

En déduire, à l’aide des formules d’Euler, que :

$cos\left ( \frac{2\pi}{5} \right )+cos\left ( \frac{4\pi}{5} \right )=-\frac{1}{2}$

Corrigé de cet exercice

Exercice 13 : extrait du bac.

Soient les nombres complexes $z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $z_2=1-i$ .

1. Mettre sous forme trigonométrique $z_1\,,\,z_2\,,\,Z=\frac{z_1}{z_2}$ .

En déduire que :

$cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ .

3. On considere l’équation d’inconnue réelle x :

$(\sqrt{6}+\sqrt{2})cos x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})sin x=2$

a. Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$ .

b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique .

Corrigé de cet exercice

Continuez de réviser avec la série 1 des exercices sur les nombres complexes ou la série 3 et série 4 pour le niveau terminale S.

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