Exercices sur argument et module d'un nombre complexe en terminale S

La série 4 des exercices de maths sur l’argument et le module de nombres complexes en terminale S.Vous pouvez également télécharger en PDF ces différents exercices corrigés gratuitement afin de pouvoir les imprimer librement.

Etude d’une application

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , le point A a pour afﬁxe i.

On nomme f l’application qui, à tout point M d’afﬁxe z avec $z\neq i$ associe le point M′

d’afﬁxe z′’ telle que :

$z'=\frac{-z^2}{z-i}$

Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M′

connaissant le point M.

1) Un exemple.

On considère un point K d’afﬁxe 1 + i.

a) Placer le point K.

b) Déterminer l’afﬁxe du point K’ image de K par f.

c) Placer le point K′.

2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.

a) On considère le point L d’afﬁxe $\frac{i}{2}$ .

Déterminer son image L′ par f. Que remarque-t-on ?

b) Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les afﬁxes.

3) Un procédé de construction.

On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M′ , et g l’afﬁxe de G.

a) Vériﬁer l’égalité $g=\frac{1}{3(z-i)}$ .

b) En déduire que si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point

du cercle de centre O de rayon $\frac{1}{3r}$ .

c) Démontrer que $arg\, g=-(\vec{u},\vec{AM})$ .

d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\frac{1}{2}$ .

On nomme D′ l’image de D par f.

Déduire des questions précédentes la construction du point D′

et la réaliser sur la ﬁgure annexe .

Document annexe :

Corrigé de cet exercice

Affirmations vraies ou fausses

L’exercice comporte quatre affirmations repérées par les lettres a), b), c) et d). Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.

Soient A le point d’affixe a=1-i et B le point d’affixe $b=2i-3$ .

A tout point M d’affixe z, avec z différent de b, on associe le point M’ d’affixe:

$Z=\frac{z-1+i\,}{z+3-2i}$ .

a) L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est le segment [AB].

b)Pour tout z différent de -3+2i et de -3-2i, on obtient la forme algébrique de Z par le calcul:

$\frac{(z-1+i)(z+3+2i)\,}{(z+3-2i)(z+3+2i)}$ .

c)L’ensemble des point M’ d’affixe z tels que M’ soit un point de l’axe des ordonnées et le cercle d’équation $(x+1)^2\,+\,(y-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$ , sauf le point B.

d) Soit z₀ une solution de l’équation $Z=\frac{\,z-1+i\,}{z+3-2i}=i$ (on admet l’existence d’une telle solution).

Le point M₀d’affixe z₀ est un point de la médiatrice de [AB]

Corrigé de cet exercice

Complexes, argument et module

Le plan complexe est muni du repère othonormal direct (O,u,v) unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a=1 et b=-1
On considére l’application f qui, a tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par $z'=\frac{z-1}{z+1}$ .
1. Déterminer les points invariants de f.

2. a) montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, $(z'-1)(z+1)=-2$ .
b) En déduire une relation entre $|z'-1|$ et $|z+1|$ , puis entre arg (z’-1) et arg (z+1), pour tout nombre complexe z diffèrent de -1.

3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

4.Soit le point P d’affixe $P=-2+i\sqrt{3}$ .
a) Déterminer la forme trigonométrique de (p+1)
b) montrer que le point P appartient au cercle (C)

Corrigé de cet exercice

Problème

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique: 4cm).

On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i, – 1 et i.

On considère l’application f qui, à tout point M diffèrent de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z ’ tel que :

$z'=\frac{z+1}{z-2i}$

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Déterminer l’affixe du point C’, image de C par f . Quelle est la nature du quadrilatère ACBC’ ?

c. Montrer que le point C admet un unique antécédent par f , que l’on appellera C ». Quelle est la nature du triangle BCC » ?

2. Donner une interprétation géométrique du module et d’un argument de z ’ (lorsque celui-ci existe).

3.Déterminer en utilisant la question précédente, les ensembles suivants :

a. l’ensemble $E_0$ des point M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif;

b. l’ensemble $E_1$ des point M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul;

c. l’ensemble $E_2$ des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

Corrigé de cet exercice

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