Exercices maths terminale S et ES

Problème du bac avec des équations différentielles, limites et intégrales


Mise à jour le 2 mai 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

exercices de maths en terminale S https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/exercices-maths-terminale.png https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/exercices-maths-terminale-150x150.png0 https://www.mathovore.fr/exercices-sur-les-fonctions-exponentielles-serie-3#respond
310

La série 3 des exercices en terminale S sur les fonctions exponentielles, ces exercices sont à télécharger au format PDF afin de les imprimer librement et de disposer de la correction.

Extrait baccalauréat
Problème :(Amerique du nord)

Partie A

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considere l’équation différentielle :

(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur \mathbb{R}, vérifient, pour tout x réel :

g(x)=h(x)e^{-x}

a. Montrer que g est solution de (E_n) si et seulement si, pour tout x réel :

\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!} .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (E_n), sachant que f(0)=0.

Quelle est alors la fonction g?

2. Soit \phi une fonction dérivable sur \mathbb{R} .

a. Montrer que \phi est solution de (E_n) si et seulement si \phi - g est solution de l’équation :

(F) y’+y=0

b. Résoudre (F) .

c. déterminer la solution générale \phi de l’équation (E_n) .

d. Déterminer la solution f de l’équation (E_n)vérifiant f(0)=0 .

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :

\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}

1. On pose, pour tout x réel,

f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}.

a. vérifier que f_1 est solution de l’équation différentielle : y’+y=f_0 .

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction f_n comme la solution de l’équation différentielle y’+y=f_{n-1} vérifiant f_n(0)=0 .

En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier n\ge 1 :

f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x} .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

I_n=\int_{0}^{1} f_n(x)dx

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :

0\le f_n(x)\le \frac{x^n}{n!} .

En déduire que 0\le I_n\le \frac{1}{(n+1)!}, puis déterminer la limite de la suite ( I_n) .

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :

\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}} .

c. Calculer I_0 et déduire de ce qui précéde que :

I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!} .

d. En déduire finalement :

\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}

Corrigé de cet exercice

Problème du bac avec des équations différentielles, limites et intégrales
Voter pour cette fiche



Les derniers topics du forum

Retrouvez les derniers topics ajoutés et des demandes d'aide formulées par les élèves. Une communauté dynamique d'aide en ligne qui vous permettra de résoudre vos exercices, DM ou de résoudre un problème dont vous n'arrivez pas à trouver la solution.


D'autres documents similaires

Inscription gratuite à Mathovore. Rejoignez les 130201 Mathovoristes, inscription gratuite.

https://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2016/11/exercices-maths-terminale.png
Mathovore

GRATUIT
VOIR