Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur le calcul de la fonction dérivée

La série 2 des exercices de maths en terminale S sur les dérivées et les intégrales.Tous ces exercices disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=x^2sin(\frac{1}{x}) \,x\neq0 et f(0)=0.

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Corrigé de cet exercice

Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction vou est dérivable sur I et que pour tout x de I :

(vou)'(x)=u'(x)v'[u(x)].

Corrigé de cet exercice

Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : \lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 et \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(h)}{h}=0.

Corrigé de cet exercice

Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\frac{x}{1+\left |x \right |}.

1.Démontrer que f est bornée sur \mathbb{R}.

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de \mathbb{R} sur ]-1;1[.

 Corrigé de cet exercice

Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en \frac{\pi}{2} de la fonction f définie par : f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}} avec x\neq\frac{\pi}{2}.

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en \frac{\pi}{2}, déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0

f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}

Corrigé de cet exercice

Etude de fonctions numériques
Exercice n° 1 :

Etudier la fonction f définie sur

a.
b.
c.
d.
e.

Exercice n° 2 :

La fonction est dérivable sur , strictement croissante sur ] ; -1] et sur [0 ; [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,
Déterminer le nombre de solutions de l’équation

Exercice n° 3 :

Etudier la fonction f définie sur .

a.
b.
b.

Corrigé de cet exercice

Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Corrigé de cet exercice

Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour x\in\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \} par f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}.

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en -\infty;+\infty;1^-;1^+.

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en -\infty\,et+\infty.

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout x\in\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \} : f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}.

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse x_0=0.

Corrigé de cet exercice

Dérivation

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xsin(x)+cos(x).

On se propose d’étudier cette fonction sur [0;2\pi].

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur [0;2\pi].

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l’intervalle [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].

4.Démontrer que: \frac{5\pi}{6}<\alpha <\pi.

Corrigé de cet exercice

Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par  f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}.

On note C sa représentation graphique dans un repère (O,\vec{i},\vec{j}).

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Corrigé de cet exercice

info Si cela n’a pas été fait, réviser avec la série 1 des exercices sur les dérivées et les intégrales  ou série 3 ou série 4 ou série 5 en terminale S.

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