Exercices sur le calcul de dérivée et les propriétés de la dérivation

La série 4 des exercices sur les intégrales en terminale S, vous pourrez consulter les corrections détaillées afin de repérer vos éventuelles erreurs commises.

Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

$f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}$
$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}$
$f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}$
$f(x)=(x^3-2x+1)^3$
$f(x)= \sqrt{1-5x^2}$
$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}$

Corrigé de cet exercice

Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et $\theta$ tels que pour tout x de $\mathbb{R}$ :

$acosx+bsinx=Rcos(x-\theta )$ .

Application :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ , l’équation $cosx+sinx=1$ .

Corrigé de cet exercice

Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Corrigé de cet exercice

Théorème de bijection

Démontrer que l’équation $x^4+x^3-x+1=0$ n’a pas de solution sur $\mathbb{R}$ .

Corrigé de cet exercice

Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors $\frac{1}{g}$ est dérivable en a.

Corrigé de cet exercice

Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x$ .

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en $-\infty$ eten $+\infty$ .La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation $y=-2x-\frac{1}{2}$ est asymptote oblique à Cf en $-\infty$ .

Corrigé de cet exercice

Poursuivez vos révisions avec la série 2 des exercices sur la dérivation et les intégrales ou série 1 ou série 3 ou série 5 en terminale S.

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