Des exercices de maths en première S sur la géométrie dans l’espace.
Cercle et lieux de points
Il est vivement recommandé d’utiliser un logiciel de géométrie…
1. Partie préliminaire :
on considère un triangle ABC, G son centre de gravité,
Ω le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.
Montrer que H est l’image de Ω dans une homothétie de centre G dont on précisera le rapport.
2. On considère un cercle Γ de centre O, de rayon R, passant par un point fixe A.
Soient B et C deux points de Γ tels que la distance BC soit constante et égale à l.
a. Quel est le lieu géométrique des milieux I de [BC] ?
b. Quel est le lieu géométrique des centres de gravité G de ABC ?
c. Quel est le lieu géométrique des orthocentres H de ABC ?
3. Reprendre la partie 2. avec BC sur une droite ∆ ne passant pas par A, A fixe.
Homothéties et droites parallèles
ABC est un triangle isocèle (AB = AC).
E et F sont deux points du segment [BC].
Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement.
Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement.
1. Montrer que GH = IJ.
2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?
Pyramide à base triangulaire
La pyramide SABCD est à base rectangulaire.
On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB].
Déterminer l’intersection des plans (DIJ) et (SAC).
Etude d’un pavé droit
ABCDEFGH est un pavé droit.
On note I le milieu de l’arête [AB] et J le point tel que
.
O est le centre de la face BCGF.
Démontrer que les droites (IH) et (JO) sont parallèles.
Etude d’une pyramide
SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre O.
G est le centre de gravité du triangle SBD et E est le milieu du segment [SC].
Démontrer que les points A, G et E sont alignés.
Points coplanaires
L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct )
.
On considère les points :
A(1 ; 0 ; – 1) B( – 1 ; 0 ; 0) C(1 ; – 6 ; 4) D(4 ; – 9 ; 5) E(3 ; – 6 ; 3)
1. Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.
2. Montrer que le point D appartient à la droite (AE).
3. Montrer que ABCE est un parallélogramme. Est-ce un rectangle ? Est-ce un carré ?
Points alignés
On donne A (1 ; – 2 ; 3), B (0 ; 4 ; 4) et C (4 ; – 20 ; 9).
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Nature d’un triangle
On donne A(1 ; 1 ; 3), \,et\,C(\sqrt{2}+1;2;2).)
Quelle est la nature du triangle ABC ?
Droites parallèles
On donne A( – 3 ; 1 ; 4), B( – 2 ; – 1 ; 7), C( – 4 ; – 1 ; – 2) et D(- 5 ;- 5 ; 4).
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Calculer les coordonnées d’un barycentre
On donne A(2 ; – 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( – 2 ; 1 ; 2) et D( -1 ; – 2 ; 5).
1. ABCD est-il un parallélogramme ? Un rectangle ?
2. Calculer les coordonnées de l’isobarycentre du quadrilatère ABCD.
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