Exercice TVI


Exercice TVI Niveau : terminale
Posté par Jennyfer18

Jennyfer18

Bonjour, j'ai un DM de maths a rendre est je suis bloqué sur cette exercice pouvez vous m'aider svp. Voici l'énoncé de l'exercice:

Soit n appartient a N*. Quels est le nombre de solutions de l'équation x^n(1-x)=1 ?


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Exercice TVI Posté le 12/12/2018 - 14:07

Posté par mariepour774 points


mariepour

Bonjour

tu dois étudier la fonction f(x)=x^n(1-x)-1

tu vas calculer la dérivée , et séparer les cas ou n est pair et où n est impair, pour étudier son signe.

Il faudra aussi je pense séparer le cas où n =1.

Ensuite tu dresses le tableau de variation dans les deux cas, tu calcules les limites et les valeurs de f(x) pour lesquelles la dérivée s'annule

Ensuite tu pourras utiiser le théorème des valeurs intermédiaires.

Si tu ne t'en sors pas dis  ce que tu trouves pour la dérivée et où tu bloques; 

bonne journée.



Exercice TVI Posté le 12/12/2018 - 14:30

Posté par Jennyfer181 points


Jennyfer18

Merci pour votre aide j'ai commencé a calculé ma dérivé mais je ne c'est pas si elle est juste:

-f'(x)=n(1−x)x^n−1−x^n donc f est continue car dérivable.

-Ensuite il faut que je face le tableau de variations lorsque n et pair ma fonction va être croissante et lorsque n est impair ...

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiraires, l'équation f(x)=1 a une solution unique.

 

 



Exercice TVI Posté le 13/12/2018 - 10:08

Posté par mariepour774 points


mariepour

Pourquoi dis-tu que ta fonction est croissante si n est impair?

tu as trouvé f'(x)=n(1-n)x^(n-1)-x^n

Il faut maintenant étudier le signe de f'(x)

Pour cela, on va factoriser

f'(x)= x^(n-1) (n-nx-x)

 

Considérons le cas où n est pair

x^(n-1) est du signe de x

n-nx-x>0 est équivalent à  x<n/(n+1)

maintenant tu peux dresser ton tabeau de variation  pour n pair

tu vas calculer les limites en + ou - l'infini, ainsi que f(0)

Tu vas être amené à étudier le signe de f(n/n+1). Juste tu développes et tu arranges un peu, et tu remarques que n^n est plus petit que n^(n+1)

Et tu utilises le TVI pour donner le nombre de solutions à l'équation f(x)=0

 

Ensuite tu considères le cas ou n est impair

x^(n-1) est positif 

On a toujours n-nx-x>0 est équivalent à  x<n/(n+1)

maintenant tu peux dresser ton tabeau de variations  pour n impair

Et tu utilises le TVI pour donner le nombre de solutions à l'équation f(x)=0

Bonne journée.

 



Exercice TVI Posté le 13/12/2018 - 10:24

Posté par mariepour774 points


mariepour

J'obtiens une solution pour n pair, et zéro solution pour n impair.

Je te mets les dessins pour n=4 (en vert) et n =3 (en bleu)







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