Exercice récurrence Term S


Exercice récurrence Term S Niveau : terminale
Posté par Jamz927

Jamz927

Bonjour je suis bloqué sur un exercice de maths. 
Je suis en terminal s avec le Cned pour un bac candidat libre et je dispose donc des exercices avec leur correction mais même avec celle ci je ne comprend pas comment on passe d’une étape à l’autre. Voilà l’énoncer de l’exercice : Démontrer que, pour tout entier naturel  , l’entier 3^2n - 2^n est un multiple de 7. (C’est le chapitre sur la récurrence).

J’effectue donc l’initialisation, en montrant que la propriété est vrai pour ses premiers rangs. Jusqu’à la pas de problème. 

Je passe donc à l’hérédité et c’est la que je ne comprend pas comment faire. Je regarde donc la correction mais impossible de la comprendre voilà ce qu’elle dit : on suppose que pour un entier k quelconque 3^2k - 2^k est un multiple de 7 autrement dit 3^2k - 2^k = 7A (ou A est un entier)
Montrons sous cette hypothèse que 3^2(k+1) - 2^k+1 est lui aussi un multiple de 7. Comme 3^2k - 2k = 7A, on obtient 3^2k = 2^k + 7A (jusqu’à la pas de soucis je comprends) 
Et la à partir de cette ligne c’est l’incompréhension total : 3^2(k+1) - 2^k+1 = (2^k + 7A)*9-2^k * 2 = 2^k*(9-2) + 7A * 9 = 7(2^k + 9A).
Voilà je ne comprend pas du tout comment on passe du « on obtient 3^2k = ......... » a toute la suite du calcule ????‍??????‍??. 
Merci de votre future réponse ????


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Exercice récurrence Term S Posté le 14/02/2020 - 15:40

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin1240 points


Corsico

Bonjour,

On a : 3^(2k) - 2^(k) = 7A   soit 3^(2k) = 2^(k) + 7A   (1)

3^2(k+1) = 3^(2k) * 3²  Or   3^(2k) = 2^(k) + 7A  ( voir (1) ci-desus) .  Donc  3^(2k+1) = [2^(k) + 7A]*9

D'autre part 2^(k+1) = 2^(k)*2    si bien que :

3^2(k+1) -2^(k+1) - 7A = [2^(k) + 7A]*9 - 2^(k)*2 = 2^(k)[ 9 - 2 ] + 9*7A ou encore

2^(k)*7 + 9A*7 ou 7 [2^(k) + 9A]







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