Exercice congruences


Exercice congruences Niveau : terminale
Posté par inconnuue

inconnuue

Bonjour à tous, je suis nouvelle ici, j'aurais besoin de votre aide pour cet exercice sur les congruences, merci d'avance! 

On se propose de déterminer les couples (n;m) de nb entiers naturels non nuls vérifiant : 
7^n - 3 x 2^m = 1 (F) 

1. On suppose m inférieur ou égal à 4 
Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions 
→ ça je pense avoir réussi 

2. On suppose maintenant que m supérieur ou égal à 5 
a) montrer que si le couple (n;m) vérifie (F), alors 7^n congru à 1 (mod. 32) 
b) en étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si (m;n) verifie (F), alors n est divisible par 4 
c) en déduire que si le couple (n;m) vérifie (F) alors 7^n congru à 1 (mod.5) 
d) pour m supérieur ou égal à 5, existe t il des couples (n;m) de nb entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F)? 

3. Conclure, càd déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels... etc vérifiant (F) 

Aide donnée par l'énoncé : 2.a) poser m = 5 + p avec p appartenant à Un 
b. Déterminer une puissance de 7 congrue à 1 modulo 32 


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Exercice congruences Posté le 16/12/2016 - 17:55

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 656 points


Maginot20

Bonjour,

2.a) 7^{n}=1+3*2^{m}

Si mgeq  5  alors m=5+p avec pgeq  0

\ 3*2^{m}=3*2^{5+p}=3*2^{5}*2^{p}=3*32*2^{p } \ 3*2^{m}equiv 0 [32]

Donc 7^{n}equiv 1[32]

2.b) Il faut calculer les restes de la division des puissances de 7 par 32. Soit

\ 7^{1}equiv 7 [32] \ 7^{2}equiv 17 [32] \ 7^{3}equiv 23 [32] \ 7^{4}equiv 1[32] \ 7^{5}=7^{4}*7^{1}equiv 1*7 [32] \

Ainsi il y a 4 restes possibles qui sont 7, 17, 23, 1 et cette serie se reproduit avec une amplitude de 4 termes. Ainsi 7^{n}equiv 1 [32] si n est un multiple de 4 (divisible par 4).

2.c) n est de la forme n=4*k 

\ 7equiv 2 [5] \ 7^{4}equiv 1 [5] \ (7^{4})^{k}equiv (1)^{k} [5] \ 7^{n}equiv 1 [5] \

Je te laisse conclure

Bonne soirée



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