Cours maths 1ère

Equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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Les équations et inéquations du second degré dans un cours de maths en 1ère S où nous aborderons la résolution avec le discriminant delta et la factorisation d’un polynôme du second de gré ainsi que l’étude de son signe. Dans cette leçon en première S, nous étudierons l’interprétation graphique.

Dans tout ce chapître, nous considererons a un reel non nul.

I. Résolution de l’équation du second degré :

1. Definition et vocabulaire :

Une équation du second degre, à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0, où a,b,c sont trois réels donnés avec a 0

Résoudre l’équation ax²+bx+c = 0, c’est trouver tous les nombres p tels que ap²+bp+c=0.

Un tel nombre p est dit solution ou encore racine de l’équation.

2. Résolution de l’équation du second degré :

Posons f(x) = ax²+bx+c avec a 0.

2.1. Ecriture de f(x) sous forme canonique :

Puisque a 0,

donc


Cette derniere ecriture est appelée forme canonique de f.

2.2. Résolution de l’équation ax²+bx+c=0 :

On pose

Ainsi

1er cas :

Le nombe entre crochets est strictement positif donc l’équation f(x)=0 n’a pas de solution.

2ème cas :

Si =0 alors

.

Puisque a 0, l’équation f(x)=0 a une solution et une seule :

3eme cas :

Si >0 alors et :

Si l’on pose :

Alors

Donc puisqua a 0, l’equation f(x)=0 a deux solutions distinctes .

Definition 1 :

Le nombre b²- 4ac est appelé discriminant de l’équation du second degré ax²+bx+c=0 ou du trinôme ax²+bx+c.

On le note ( lire « delta »).

Théoreme 1 :

a. Lorsque <0, l’équation n’a pas de solution dans .

b. Lorsque =0, l’équation a une racine double :

c. Lorsque >0, l’équation a deux solutions :

.

II. Factorisation et signe du trinôme :

1. Factorisation du trinôme :

Nous avons vu, au cours de la demonstration du theoreme 1 que si

>0 alors

Théorème 2 : factorisation du trinôme.

Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions ( dans le cas >0)

alors,

pour tout réel x,

2. signe du trinôme :

Théorème 3 :

Lorsque <0, f(x) est toujours du signe de a.

Lorsque =0, f(x) est du signe de a

Lorsque >0, f(x) est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.

Application :

pour résoudre une inéquation du second degré, on determine le signe du trinôme associé.

III. Représentations graphiques des fonctions trinômes :

La courbe de la fonctionf : x \mapsto   ax^2+bx+c est une parabole.

Cette parabole est tournée vers le haut lorsque a>0 et tournée vers le bas lorsque a<0.

Synthèse :

separation

Exemples :

Résoudre x^2+3x+3>0

Solution :

= – 3 puisque <0, le trinome n’a pas de racine dans .

De plus a=1 donc a>0 ainsi x²+3x+3>0 pour tout x réel et S=.

Résoudre –x²+3x-2 0 =1, l’équation –x²+3x-2=0 a deux racines = 1 et = 2 .

a=-1 donc a<0 ainsi l’ensemble solution est l’intervalle [1 ;2].

Equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S
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