Dm produit scalaire


Dm produit scalaire Niveau : première
Posté par Khoumbac

Khoumbac

Bonsoir, j'ai un dm de math et je n'arrive pas à faire cet exercice.

ABC est un triangle non aplati.

a. Justifier que deux quelconques de ses hauteurs sont sécantes.

b. On nomme H ke point d'intersection de ces deux hauteurs.

On suppose que ce sont les hquteurs issues de A et B. Montrer qu (HC) est perpendiculaire à (AB).

 c. Conclure soigneusement 

Pour le b. Je voulais montrer que (HC) est perpendiculaire à (AB) en faisant un produit scalaire mais je sais pas comment faire. Est ce que vous pouvez m'aider ? Merci d'avance

 


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Dm produit scalaire Posté le 11/12/2019 - 15:34

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin1027 points


Corsico

Bonjour,

Tu montreras d'abord que , pour tout point, H par exemple,  vect.HA.vect.BC + vect.HB.vect.CA + vect.HC. vect.AB = 0



Dm produit scalaire Posté le 19/12/2019 - 14:57

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin1027 points


Corsico

Bonjour,

Deux hauteurs du triangle sont sécantes :

Si AH (hauteur issue de A) et BK (hauteur issue de B) ne sont pas sécantes, c'est qu'elles sont parallèles. Or AH est perpendiculaire à (BC) et BK est perpendiculaire à (AC) donc (AC) et (BC) sont parallèles. Or ces deux droites ayant  le point C en commun , on en déduit qu'elles sont confondues. Si ces deux droites sont confondues, les points A, B, C sont alignés, ce qui est contraire à l'hypothèse " ABC est un triangle non aplati ".

 



Dm produit scalaire Posté le 20/12/2019 - 15:34

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin1027 points


Corsico

Bonjour,

Question 2 : - Afin de faciliter la lecture, je n'écrirai pas le mot vecteur et je n'utiliserai pas la flèche caractéristique du vecteur.

1. Montrons  que, M étant un point quelconque, on aura MA.BC (1) + MB.CA (2) + MC.AB (3) = 0

   Pour cela on transformera MA.BC .

   MA.BC = MA.(BA+AC) = MA.BA + MA.AC = AM.AB + MA.AC.  (1) et (3) :

   AB.(AM + MC) = AB.AC + MA.AC

     On a maintenant  AB.AC + MA.AC + MB.CA = AB.AC + AM.CA +MB.CA ce qui peut s'écrire AB.AC + CA.( AM + MB )  ou encore AB.AC + CA.AB. Mettons AB en facteur :    AB.(AC + CA) . Or AC + CA = 0  donc (1) + (2) + (3) =  0

3. Dans l'exercice donné, M devient H. On peut écrire:

   HA.BC + HB.CA + HC.AB = 0.   Or la hauteur issue de A permet d'écrire que HA.BC = 0 et la hauteur issue de B permet d'écrire HB.CA = 0 . La seule valeur  HC.AB pour que l'équation vaille zéro est 0. Cela prouve que HC est la hauteur issue de C.

 







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