Divisibilité et congruences : cours d'arithmétique en terminale S spécialité.

Un cours d’arithmétique en terminale S spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

I.Divisibilité et division euclidienne

1.Divisibilité dans Z

Définition 1 :

a et b sont deux entiers relatifs ( $divisibilité et congruence$ ).Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

– 45 =( -5 )x 9 = 5x(-9) donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
Les diviseurs dans $\mathbb{Z}$ du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :

1 et -1 tout entier relatif n car 1xn=(-1)x(-n)=n.

2.Propriétés de la divisibilité

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ), il résulte de la définition que :

Si b divise a alors – b divise a.
Si b divise a et si $a\neq0$ , alors $\left |b \right |\leq\, \left |a \right |$ .

Théorème 1 :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Transitivité :

Théorème 2 :

a,b et c sont trois entiers relatifs ( $a\neq0$ , $b\neq0$ ).Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Divisibilité d’une combinaison linéaire :

Théorème 3 :

a,b,d sont trois entiers relatifs ( $d\neq0$ ).Si d divise a et b, alors d divise tout entier ma+nb $(m,n\in\mathbb{Z})$ .

En particulier, d divise leur somme a + b et leur différence a-b.

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire a=dk et b=dk’ avec k et k’ entiers.

ma+nb=mdk + ndk’=(mk+nk’)d avec mk+nk’ entiers, donc d divise ma + nb.

3.La division euclidienne dans N

Théorème 4 :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que $a=bq+r$ et $0\leq\, r<b$ .

Définition 2 :

a et b sont deux entiers naturels, $b\neq0$ .Effectuer la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que $a=bq+r$ et $0\leq\, r<b$ .

Vocabulaire : a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence : b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.

4.La division euclidienne dans Z

Théorème 5 : (admis)

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.Alors il existe un unique couple (q;r) tel que q entier relatif et r entier naturel

tel que $a=bq+r$ et $0\leq\, r<\left |b \right |$ .

Exemple :

a=-50,b=-3; -50=-3×16-2.Pour obtenir un reste positif, on écrit -50=-3×16-3+3-2=-3×17+1.

Ainsi q=17 et r=1.

II.Congruences

1.Entiers congrus modulo m

Définition 3 :

m est un entier naturel non nul.Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste

dans la division euclidienne par m.

Notation : On écrit $a\equiv b(mod\,m)$ .On lit a est congru à b modulo m.

Exemples :

$11\equiv 5(mod\,3)$ et $-4\equiv 2(mod\,3)$ .

congruence

Théorème 6 :

m est un entier naturel non nul.Pour tous entiers relatifs a et b, $a\equiv b(mod\,m)\Leftrightarrow m\,divise\,a$ .

Remarques :

Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors $a\equiv r(mod\,m)$ .
$a=0(mod\,m)$ si et seulement si m divise a.

2.Propriétés des congruences

Transitivité :

Théorème 7 :

m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,

si $a\equiv b(mod\,m)$ et $b\equiv c(mod\,m)$ , alors $a\equiv c(mod\,m)$ .

Congruence et opérations :

Théorème 8 :

m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si $a\equiv b(mod\,m)$ et $a'\equiv b'(mod\,m)$ , alors :

$\star\,$ $a+a'\equiv b+b'(mod\,m)$

$\star\,$ $a-a'\equiv b-b'(mod\,m)$

$\star\,$ $aa'\equiv bb'(mod\,m)$

Conséquence : $a\equiv b(mod\,m)$ , alors pour tout entier p positif, $a^p\equiv b^p(mod\,m)$ .

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