Divisibilité et congruences : cours d'arithmétique en terminale S spécialité.

Un cours d’arithmétique en terminale S spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

I.Divisibilité et division euclidienne

1.Divisibilité dans Z

Définition 1 :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ).Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

– 45 =( -5 )x 9 = 5x(-9) donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
Les diviseurs dans $\mathbb{Z}$ du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :

1 et -1 tout entier relatif n car 1xn=(-1)x(-n)=n.

2.Propriétés de la divisibilité

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ), il résulte de la définition que :

Si b divise a alors – b divise a.
Si b divise a et si $a\neq0$ , alors $\,|b\,\,|\leq\,\,\,|a\,\,|$ .

Théorème 1 :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Transitivité :

Théorème 2 :

a,b et c sont trois entiers relatifs ( $a\neq0$ , $b\neq0$ ).Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Divisibilité d’une combinaison linéaire :

Théorème 3 :

a,b,d sont trois entiers relatifs ( $d\neq0$ ).Si d divise a et b, alors d divise tout entier ma+nb $(m,n\in\mathbb{Z})$ .

En particulier, d divise leur somme a + b et leur différence a-b.

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire a=dk et b=dk’ avec k et k’ entiers.

ma+nb=mdk + ndk’=(mk+nk’)d avec mk+nk’ entiers, donc d divise ma + nb.

3.La division euclidienne dans N

Théorème 4 :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que $a=bq+r$ et $0\leq\,\,r<b$ .

Définition 2 :

a et b sont deux entiers naturels, $b\neq0$ .Effectuer la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que $a=bq+r$ et $0\leq\,\,r<b$ .

Vocabulaire : a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence : b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.

4.La division euclidienne dans Z

Théorème 5 : (admis)

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.Alors il existe un unique couple (q;r) tel que q entier relatif et r entier naturel

tel que $a=bq+r$ et $0\leq\,\,r<\,|b\,\,|$ .

Exemple :

a=-50,b=-3; -50=-3×16-2.Pour obtenir un reste positif, on écrit -50=-3×16-3+3-2=-3×17+1.

Ainsi q=17 et r=1.

II.Congruences

1.Entiers congrus modulo m

Définition 3 :

m est un entier naturel non nul.Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste

dans la division euclidienne par m.

Notation : On écrit $a\equiv\,b(mod\,m)$ .On lit a est congru à b modulo m.

Exemples :

$11\equiv\,5(mod\,3)$ et $-4\equiv\,2(mod\,3)$ .

congruence

Théorème 6 :

m est un entier naturel non nul.Pour tous entiers relatifs a et b, $a\equiv\,b(mod\,m)\Leftrightarrow\,m\,divise\,a$ .

Remarques :

Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors $a\equiv\,r(mod\,m)$ .
$a=0(mod\,m)$ si et seulement si m divise a.

2.Propriétés des congruences

Transitivité :

Théorème 7 :

m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,

si $a\equiv\,b(mod\,m)$ et $b\equiv\,c(mod\,m)$ , alors $a\equiv\,c(mod\,m)$ .

Congruence et opérations :

Théorème 8 :

m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si $a\equiv\,b(mod\,m)$ et $a'\equiv\,b'(mod\,m)$ , alors :

$\star\,$ $a+a'\equiv\,b+b'(mod\,m)$

$\star\,$ $a-a'\equiv\,b-b'(mod\,m)$

$\star\,$ $aa'\equiv\,bb'(mod\,m)$

Conséquence : $a\equiv\,b(mod\,m)$ , alors pour tout entier p positif, $a^p\equiv\,b^p(mod\,m)$ .

Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité

Voter pour cette fiche

Les derniers topics du forum

Retrouvez les derniers topics ajoutés et des demandes d'aide formulées par les élèves. Une communauté dynamique d'aide en ligne qui vous permettra de résoudre vos exercices, DM ou de résoudre un problème dont vous n'arrivez pas à trouver la solution.

Bac 2018 france : sujet et corrigé en terminale le 21/06/2018 - 18:58
Sujet bac S 2018 centres étrangers en terminale le 19/06/2018 - 11:55
Brevet de maths 2018 : centres étrangers en troisième le 19/06/2018 - 11:39
Calcul de chance en quatrième le 12/06/2018 - 12:59
Resolution de probleme en troisième le 11/06/2018 - 16:58

D'autres documents similaires

Rejoignez les 127162 Mathovoristes, inscription gratuite.