Sommaire de cette fiche
I.Divisibilité et division euclidienne
1.Divisibilité dans Z
Définition 1 :
a et b sont deux entiers relatifs ().Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.
Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.
Exemple :
- – 45 =( -5 )x 9 = 5x(-9) donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
- Les diviseurs dans
du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.
Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car 1xn=(-1)x(-n)=n.
2.Propriétés de la divisibilité
Comparaison :
a et b sont deux entiers relatifs (), il résulte de la définition que :
- Si b divise a alors – b divise a.
- Si b divise a et si
, alors
.
Théorème 1 :
a et b sont deux entiers relatifs non nuls.Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.
Transitivité :
Théorème 2 :
a,b et c sont trois entiers relatifs (,
).Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Divisibilité d’une combinaison linéaire :
Théorème 3 :
a,b,d sont trois entiers relatifs ().Si d divise a et b, alors d divise tout entier ma+nb
.
En particulier, d divise leur somme a + b et leur différence a-b.
Preuve :
Par hypothèses, on peut écrire a=dk et b=dk’ avec k et k’ entiers.
ma+nb=mdk + ndk’=(mk+nk’)d avec mk+nk’ entiers, donc d divise ma + nb.
3.La division euclidienne dans N
Théorème 4 :
a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que et
.
Définition 2 :
a et b sont deux entiers naturels, .Effectuer la division euclidienne dans
de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que
et
.
Vocabulaire : a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Conséquence : b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.
4.La division euclidienne dans Z
Théorème 5 : (admis)
a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.Alors il existe un unique couple (q;r) tel que q entier relatif et r entier naturel
tel que et
.
Exemple :
a=-50,b=-3; -50=-3×16-2.Pour obtenir un reste positif, on écrit -50=-3×16-3+3-2=-3×17+1.
Ainsi q=17 et r=1.
II.Congruences
1.Entiers congrus modulo m
Définition 3 :
m est un entier naturel non nul.Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste
dans la division euclidienne par m.
Notation : On écrit .On lit a est congru à b modulo m.
Exemples :
et
.
Théorème 6 :
m est un entier naturel non nul.Pour tous entiers relatifs a et b, .
Remarques :
- Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors
.
si et seulement si m divise a.
2.Propriétés des congruences
Transitivité :
Théorème 7 :
m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,
si et
, alors
.
Congruence et opérations :
Théorème 8 :
m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si et
, alors :
Conséquence : , alors pour tout entier p positif,
.
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