Cours maths 3ème

Cours sur les homothéties en troisième [3ème]


Mise à jour le 11 février 2018  |  Signalez une ERREUR

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Un cours sur les homothétie en troisième [3ème], vous y retrouverez la définition d’une homothétie de rapport k, de l’image d’un point ainsi que ses différentes propriétés (conservation de l’alignement,multiplication des longueurs et des aires.

I. L’homothétie

1.Introduction

  • La figure $$\,F_2$$ est un agrandissement de rapport 3 de la figure $$\,F_1$$.
  • On dit que la figure $$\,F_2$$ est l’image de la figure $$\,F_1$$ par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
  • La figure $$\,F_1$$ est une réduction de la figure $$\,F_2$$  de rapport $$\,\frac{1}{3}$$.
  • On dit que la figure $$\,F_1$$ est l’image de la figure $$\,F_2$$ par l’homothétie de centre O et de rapport $$\,\frac{1}{3}$$.

Homothétie et Bart Simpson

2. image d’un point

Définition:

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k positifest le point M’ tel que :

  • M’ appartient à la demi-droite [OM);
  • $$\,{\color{DarkRed}\,OM'=k\times \,OM}$$

Exemples :

Construire l’image du point M par l’homothétie de rapport k = 2,5 puis k = 0,8.

Homthétie de rapport 2,5

Homthétie de rapport 0,8

Remarque :

Dans le cas où $$\,k=1$$, les images sont confondues avec les points de départs.

Dans le cas où $$\,k<0$$, par exemple $$\,k=-2,5$$, on construit l’image $$\,M_1$$ de M

par l’homothétie de centre O et de rapport 2 puis on construit le symétrique M’ de $$\,M_1$$

par rapport à O.

Homothétie de rapport négatif

3. Image d’un segment

Propriété :

On considère A,B et O trois points du plan et k un nombre positif.Si les points A’ et B’ sont les images respectives des points A et B

par l’homothétie de centre O et de rapport k

alors :

$$\,\star\,\,A'B'=k\times \,AB$$

$$\,\star\,\,(AB)//(A'B')$$

Démonstration :

Image d'un segment par une homothétie.

Image d’un segment par une homothétie.

Par définition de l’homothétie de centre O et de rapport k, nous avons :

$$\,OA'=k\times \,OA$$ et $$\,OB'=k\times \,OB$$ donc $$\,\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$$

Ainsi en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons

que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

Ensuite, nous pouvons appliquer la partie directe du théorème de thalès.

On sait que : $$\,A\in(OA'),\,B\in\,(OB'),(AB)//(A'B')\,.$$

donc nous avons les égalités suivantes :

$$\,\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$$ ainsi $$\,{\color{DarkRed}\,A'B'=k\times \,AB\,}$$ .

4. Les propriétés des homothéties

Propriété :

L’homothétie conserve l’alignement, les milieux et la mesure des angles.

Propriété :

Dans une homothétie de rapport k positif :

  • les longueurs sont multipliées par k;
  • les aires sont multipliées par k².

Propriété :

On considère la figure $$\,F_2$$ qui est l’image de la figure $$\,F_1$$ par une homothétie de centre O et de rapport k.

  • Si $$\,k>1$$ alors $$\,F_2$$ est un agrandissement de $$\,F_1$$ par cette homothétie;
  • Si $$\,0<k<1$$ alors $$\,F_2$$ est une réduction de $$\,F_1$$ par cette homothétie.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image du quadrilatère ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $$\,k=2,5$$.

Image d'un quadrilatère par une homothétie.

  • Les points A,B,K sont alignés donc leurs images respectives A’,B’,K’ sont alignées;
  • Le point J est le milieu de [BC] donc son image J’ est le milieu du segment [B’C’];
  • L’angle $$\,\widehat{A'D'C'}$$ est l’image de l’angle $$\,\widehat{ADC}$$, ils ont donc la même mesure;
  • Les longueurs sont multipliées par 2,5 ainsi $$\,B'C'=2,5\times \,BC$$;
  • Les aires sont multipliées par $$\,2,5^2=6,25$$ ainsi $$\,Aire_{ABCD}=6,25\times \,Aire_{A'B'C'D'}$$.

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