Corrigé des exercices de maths

Limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les limites de fonctions numériques.

Exercice 1 :

1. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x-1}{x-1}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\,x\,=\,+\infty.\]

2. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x+100}{x^2+x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x(1+\frac{100}{x})}{x(x+\frac{1}{x})}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\,=\,0.\]

3. On a
\[\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^3}{x^2+x+1}-x)\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3-x^2-x}{x^2+x+1}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}\,=\,-1.\]

4. On a
\[\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{x+1})\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3+x^2+x}{(2x^2-1)(x+1)}\,=\,0.\]

5. On a
\begin{align*}\,\lim_{x\to+\infty}(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2})\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2(2x-1)-(3x^2+x+2)(2x-1)}{4x^2(2x+1)}\,\\\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x^2-2x-1)(2x-1)}{4x^2(2x+1)}\,\\\,=\,\frac{3}{8}.\,\end{align*}

6. On a
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x-4}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{\frac{x+5}{x^2}}}{1-\frac{4}{x}}\,=\,0.\]

7. On a
\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x-1}+2x)\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-(2x)^2}{\sqrt{x^2+x-1}-2x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^2-x+1}{\sqrt{x^2+x-1}-2x}\,=\,-\sqrt{13}.\]

8. On a
\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x-1}+x)\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-x^2}{\sqrt{x^2+x-1}-x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x-1}+x}\,=\,1.\]

9. On a
\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+3})\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-x^2-3}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+3}}\,=\,-1.\]

Exercice 2 :

Par la règle de composition des limites, on a :
\[\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{t}\,=\,n\,\times  \,\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{nt}.\]

Or, on a \lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{nt}\,=\,\lim_{u\to\,0}\,\frac{\sin\,u}{u} avec u\,=\,nt, donc cette limite est égale à 1.

Finalement, on a :
\[\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{t}\,=\,n\,\cdot\,\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{nt}\,=\,n\,\cdot\,1\,=\,n.\]

Ainsi, la limite cherchée est $n$.

Soyez le premier à commenter (Laisser un commentaire)

Votre email ne sera pas publié.


*


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.» au format PDF.


D'autres fiches similaires :

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 13 908 645 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.