Cours maths terminale

Conjugué, module et argument d’un nombre complexe : cours en terminale S


Mise à jour le 16 avril 2018  |   Signalez une ERREUR  | 

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Les nombres complexes avec un cours de matsh en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

I. Conjugué d’un nombre complexe :

1. Définition du conjugué :

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x+iy (x, y réels).

Le nombre complexe x – iy, noté , est appelé conjugué du nombre complexe z.

Exemples :

; ; ; ; .

Conséquences :

2. Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

z est réel .

z est imaginaire pur .

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3. Conjugué et opérations :

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

Exemples :

II. Module et argument d’un nombre complexe :

1. Module d’un nombre complexe :

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté .

Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

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Remarques :

Si x est un réel, le module de x est égal à la valeur absolue de x.

lzl=0 si et seulement z=0 ( car OM=0 équivaut à O=M)

.

2. Arguments d’un nombres complexe non nul :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de z et on note arg(z), toute mesure en radian de l’angle orienté .

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Remarques :

Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme .

On note ou plus simplement arg(z)=

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul :

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésinne (x;y) ou par un couple de coordonnées polaires avec OM=r et ,

on a alors :

 

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul.

L’écriture avec r=lzl et = arg(z) est appelée forme trigonométrique de z.

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Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si z= r(cos +isin ) avec r>0 alors r = lzl et = arg(z).

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