Approximation de pi par la méthode d'arc


Approximation de pi par la méthode d'arc Niveau : première
Posté par salomonlolo34

salomonlolo34


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Approximation de pi par la méthode d'arc Posté le 09/12/2019 - 23:18

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin1027 points


Corsico

Bonsoir!

( bonjour-bonsoir ?  pas un mot d'explication pour qu'on sache ce qui te gêne).

La première question n'est pas difficile ; que proposes-tu ?



Approximation de pi par la méthode d'arc Posté le 17/12/2019 - 15:20

Posté par Corsico | Administrateur du forum de maths Admin1027 points


Corsico

Bonjour,

1. Périmètre d'un cercle = 2*pi*rayon. Or rayon = 1 donc périmètre cercle = 2*pi.

   Pour approcher la valeur de pi, on peut multiplier le nombre de côtés du polygone intérieur au cercle et faire de même avec le polygone circonscrit.

2.   Si le nombre de côtés du polygone (intérieur ou extérieur) est égal à 3*2^n, un angle au centre vaut 360/3*2^n ( en degrés) ou 2*pi /3*2^n  (en radians)

3a.  OA est un rayon, il mesure 1.

3b.   sin (alpha/2) = AT / OA. Or   OA = 1 donc AT = sin(alpha/2).

3c.   AT est la moitié d'un côté du polygone donc a = 2*sin(alpha/2).

3d.   Le périmètre du polygone =(3*2^n) * 2*sin(alpha/2) ou 6*2^n*sin(alpha/2)

4a.   OC est un rayon du cercle, OC = 1.

4b.  tan ( alpha/2) = CN/ OC et OC = 1 donc CN = tan(alpha/2).

4c.  CN n'est que la moitié d'un côté du polygone, donc b= 2* tan(alpha/2).

4d. Le périmètre  = (3*2^n)* 2*tan(alpha/2) ou 6*2^n*tan(alpha/2)

5. On a l'encadrement                p     <     2*pi     <     q

                   (3*2^n) * 2*sin(alpha/2)   <     2*pi     < ( 3*2^n) *2*tan(alpha/2)    ou

                  3*2^n * sin(alpha/2)        <       pi      <  3*2^n * tan(alpha/2)  

6. exemple : Si n = 3, le nombre de côtés = 3*2^3 = 24

                 24 * sin(360/48 )           <      pi        <   24 * tan( 360/48 )  

                            3,13....              <      pi        <       3,15.....

     







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