Aire du trapèze


Aire du trapèze Niveau : troisième
Posté par flo54600

flo54600

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre une énigme que j'ai trouvée sur Internet : 

ABCD est un trapèze dont les diagonales se coupent en E.

Les aires des triangles ABE et CDE valent respectivement 32 cm² et 18 cm².

Quelle est l’aire totale du trapèze ABCD ?


Règles à respecter sur le forum

infoSi vous n'avez pas fait l'effort de préciser et rédiger ce que vous avez déjà fait et sur quels points vous êtes bloqué(e), vous risquez de ne pas recevoir de réponse.

Règles du forum - Ecrire une formule - Insérer une image - Liste des admins


Aire du trapèze Posté le 02/07/2018 - 12:42

Posté par flo546002 points


flo54600

J'ai un peu avancé, j'ai pu démontrer que les deux triangles CEA et CEB étaient semblables (utiliser théorème du papillion). 

Ensuite, toujours avec le théorème du papillion, on peut calculer k le rapport d'agrandissement grâce à la formule suivante : k=\sqrt{}\frac{Aire(ABE)}{Aire\,(CDE)}

C'est aprés que je n'y arrive pas. Je ne vois pas comment exprimer l'aire de l'un des triangles qui sont semblables. 



Aire du trapèze Posté le 03/07/2018 - 20:33

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin957 points


Maginot20

Bonjour,

Il faut utiliser effectivement la similitude des deux triangles. Mais attention le rapport des deux aires est k^{2} et ce coefficient k est tel que AB=k*DC.

Soit h_{1} la hauteur dans le triangle (DCE) et h_{2} la hauteur dans le triangle (ABC). Ainsi 

h_{2}=k*h_{1}

Tu peux avec ces informations calculer maintenant l'aire du trapéze.

Donne moi tes résultats et je te guiderai si necessaire



Aire du trapèze Posté le 04/07/2018 - 21:10

Posté par flo546002 points


flo54600

 Bonjour, merci d'avoir pris le temps de répondre à ma question. 

J'ai trouvé le bon résultat et je pense que mon développement est correct. 

(1) H = h1 + h2 ; avec h1 la hauteur dans le triangle DCE et h2 dans le triangle ABE. 

(2) 18\,= 1/2\,(CD*h1\,)

(3) 32\,=\,1/2\,(AB*h2)

(4) \frac{h1}{h2}\,=\,\frac{DC}{AB}=\,k, avec k mon rapport d'agrandissement. 

Avec Thalès, on peut démontrer que : 

k\,=\,\frac{Aire(CDE)}{Aire(ABE)}\,=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{32}}

L'idée c'est de déterminer une inconnue à la fois dans la formule suivante qui détermine l'aire totale du trapèze : 

A_T\,=\,\frac{1}{2}(AB+CD)*H=\,\frac{1}{2}(AB+CD)(h_1+h_2)D

Détermination de h_2

18\,=\,\frac{1}{2}(CD*h_1)

36\,=\,CD*h_1

\frac{36}{CD}=h_1

Ensuite, je me sers de l'équation (4) pour remplacer h_1 par h_2\,*\,\frac{CD}{AB}    : 

\frac{36}{CD}=h_2\,*\,\frac{CD}{AB}

Je modifie un peu mon équation : 

36\,=\,h_2\,*\,\frac{CD^{2}}{AB}

Or : \frac{CD}{AB}=\sqrt{\frac{18}{32}}              donc     \frac{CD^{2}}{AB}\,=\,\sqrt{\frac{18^{2}}{32}}

 

Au final,                                                 36\,=\,h_2\,*\,\sqrt{\frac{18^{2}}{32}}

 

                                                                 \frac{36}{\sqrt{\frac{18^{2}}{32}}}\,=\,h_2

Je suis un peu feinéant donc je tape ça à la calculatrice et au final :

                                                                  h_2\,=\,8\sqrt{2}

 

Détermination de AB

                                                                32\,=\,\frac{1}{2}(AB*h_2)

                                                                64\,=\,AB*\,h_2

                                                                 \frac{64}{h_2}\,=\,AB

                                                               AB\,=\,\frac{64}{8\sqrt{2}}

                                                              AB\,=\,4\sqrt{2}

Détermination de  h_1

Avec le même déroulement je trouve    h_1\,=\,6\sqrt{2}

 

Détermination de CD

                                                            CD\,=\,3\sqrt{2}

 

Je remplace toutes ces valeurs dans la formule de l'aire du trapèze 

                           A_T=\,\frac{1}{2}(3\sqrt{2}+4\sqrt{2})(6\sqrt{2}+8\sqrt{2})\,=\,98

 

L'aire totale du trapèze est donc 98 cm². 

 

 

 



Aire du trapèze Posté le 05/07/2018 - 11:37

Posté par Maginot20 | Administrateur du forum de maths Admin957 points


Maginot20

Oui c'est bien mais tu as pris des chemins détournés pour arriver au résultat. En effet

k=\sqrt{\frac{18}{32}}=\frac{3}{4}

et donc en reprenant tes équations:

\\CD=k*AB\,\\\,h_{1}=k*h_{2}

On reporte dans la formule de l'aire du trapèze.

\\A_{T}=\frac{1}{2}(AB+k*AB)(k*h_{2}+h_{2})=\frac{1}{2}AB*h_{2}(1+k)^{2}

On remarque que l'on retrouve l'aire du triangle ABE et donc:

\\A_{T}=32*(1+\frac{3}{4})^{2}=98

Bonne journée

 







Ce topic Aire du trapze est fermé, aucune réponse ne peut y être apportée .


Besoin d'aide?Créez un topic sur le forum Besoin d'aide? Créez un topic sur le forum.





Les derniers topics du forum

Retrouvez les derniers topics ajoutés et des demandes d'aide formulées par les élèves. Une communauté dynamique d'aide en ligne qui vous permettra de résoudre vos exercices, DM ou de résoudre un problème dont vous n'arrivez pas à trouver la solution.


Inscription gratuite à Mathovore. Rejoignez les 129209 Mathovoristes, inscription gratuite.


D'autres documents similaires
Revenir en haut de la page