Cours maths 3ème

Cours sur les fonctions affines


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Cours sur les fonctions affines : définition, calcul d’image, d’antécédent, interprétation graphique.Détermination de l’expression d’une fonction affine connaissant deux points de sa courbe.Notion de coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine.

Dans cette leçon, nous considérerons comme acquis le chapître sur les fonctions linéaires .

On se placera dans un repère .

I.Les fonctions affines :

1.Activité d‘introduction :

Considérons un rectangle de longueur x cm et de largeur 3 cm.

Notons y son périmètre.

Nous allons étudier les variations du périmètre en fonction de celles de la longueur.

a. Compléter le tableau de valeur suivant :

Longueur (en cm)1245
Périmètre (en cm)8101416

b. Ce tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ?

c. Le périmètre est-il une fonction linéaire de la longueur du rectangle ?

d. Donner une relation (égalité) reliant y et x.

On dit que le périmètre (y) est une « fonction affine » de la longueur (x).

Nous avons y =2x+ 6 d‘après la formule du périmètre d‘un rectangle

e. Dans le repère (O, , placer les points A(1,8) B(2 ;10) C(4 ;14) D(5 ;16).

f. Quelles sont vos remarques ?

Tous les points sont alignés sur une droite.

2. Définition :

Définition :

Soient a et b deux nombres relatifs donnés.

La fonction affine f de coefficients a et b est définie par la relation :

A tout nombre x on associe le nombre ax+b.

On note f : x \mapsto  ax+b ( où f définie par f(x)=ax+b)

Le nombre f(x) est appelé image de x par la fonction f.

Exemples :

Dans l‘activité précédente la périmètre est une fonction affine f de la longueur.

En notant x la longueur. O

n a f(x)= 2x+6 avec a=2 et b=6.

Si a = 3 et b = -5 alors la fonction affine est : f : x \mapsto  3x-5.

Calculer l‘image des nombres 2 et -3 par f.

f(2)=3 \times  2-5 =6-5=1donc l‘image de 2 par f est 1.

f(-3)=3 \times  (-3)-5=-9-5=-14

Remarque :

Une fonction linéaire est une fonction affine puisqu‘elle s‘écrit f : x \mapsto  ax+0 avec b=0.

La réciproque est fausse.

Une fonction affine n‘est pas toujours linéaire.

Contre-exemple : h : x \mapsto  3x+2 est affine mais pas linéaire.

3. Courbe représentative d‘une fonction affine :

Dans l‘activité d‘introduction, nous avons remarqué que la courbe est une droite,

Cette propriété est généralisée pour toutes les fonctions affines. Propriété :

La représentation graphique d‘une fonction affine f : x \mapsto  ax+b est une droite.

Cette droite a pour équation réduite y=ax+b.

a est appelé « le coefficient directeur »

et b « l‘ordonnée à l‘origine ».

Remarque :

b s‘appelle l‘ordonnée à l‘origine car f(0)=ax0+b=b donc la droite passe par le point de coordonnées (0,b) donc par l‘ordonnée à l‘origine.

Exemple :

Représenter graphiquement f : x \mapsto  3x+2.

Méthode :

Le principe est le même que pour les fonctions linéaires.

Sauf que dans ce cas il nous faut deux points.

Prenons deux valeurs de x différentes et calculons leur image.

Valeur de x02

Valeur de f(x)
28
Points de la droiteA(0;2)B(2;8)

II.Détermination de l‘expression d‘une fonction affine par le calcul :

Méthode :

Le procédé est similaire à celui des fonctions affines sauf que dans ce cas nous avons deux coefficients (a et b) déterminer donc il nous faut deux informations donc les coordonnées de deux points.

Exemple :

Déterminer l‘expression de la fonction f dont la courbe passe par les points A(2,5) et B (-1 ;-1)

y= ax+b

A appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l‘équation 5=2a+b.

B appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l‘équation -1=-1a+b.

Nous sommes donc amenés à résoudre le système suivant :

\left\{\begin{matrix} 2a+b=5  \\ -a+b=-1  \end{matrix}\right.

Après résolution, nous obtenons a =2 et b=1.

Conclusion :

La fonction f recherchée est : f : x \mapsto  2x+1.

 Remarque :

b s‘appelle l‘ordonnée à l‘origine car f(0)=a \times  0+b=b donc la droite passe par le point de coordonnées (0,b) donc par l‘ordonnée à l‘origine.

Si le chapitre sur les systèmes n‘a pas été étudié,

a est le coefficient de proportionnalité entre les accroissements de

f(x) et ceux de x donc pour tout nombres x_A et x_B distincts

Donc a=\frac{f(x_A)-f(x_B)}{x_A-x_B}

et b s‘obtient en résolvant f(x_A)=ax_A+b ou f(x_B)=ax_B+b.

Retrouvons l‘expression de la fonction f par cette méthode :

a=\frac{f(x_A)-f(x_B)}{x_A-x_B}=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{5-(-1)}{3}=\frac{6}{3}=2

ensuite

f(x_A)=ax_A+b

5=2a+b

5=2×2+b

b=5-4=1

ou

f(x_B)=ax_B+b

-1=2x(-1)+b

-1=-2+b

b=-1+2=1

Conclusion :

nous retrouvons bien a=2 et b=1 donc f: x \mapsto  2x+1.

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