Cours maths 2de

Cours sur les vecteurs et la translation

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0. Point de vue historique :

Le mot « vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter)

La notion de vecteur est le fruit d‘une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans.

I. Les vecteurs :

1.Définition et vocabulaire :

Définitions :

Un vecteur est un objet mathématique défini par :

– une direction;

– un sens;

– une longueur.

On le représente par une flèche .

Si on représente cette flèche à partir d‘un point A (appelée origine) et qu‘on note B son extrémité,

alors :

– La direction du vecteur est celle de la droite (AB),

– Le sens du vecteur est le sens de l‘origine A vers l‘extrémité B,

– La longueur (appelée norme) du vecteur est la longueur AB du segment [AB].

On a :

Vocabulaire :

– Le vecteur est l‘opposé du vecteur .

On a

est appelé le vecteur nul et est noté .

2. Egalité de deux vecteurs :

Propriétés :

– a. Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si :

Les vecteurs et ont même direction, le même sens et la même longueur (norme).

– b. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D;

– c. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;

Réciproquement,

si ABDC est un parallélogramme alors

3. Milieu d‘un segment :

Propriété :

Soint A et B deux points distincts du plan .

– Si M est le milieu de [AB], alors .
– Réciproquement, si

alors M est le milieu de [AB].

II. La translation :

1. Vocabulaire :

– Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu‘elles ont la même direction– Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A

Le déplacement de la figure a été effectué :

– dans la direction de la droite (AB)

– dans le sens A vers B, que l‘on indique par la flèche

– d‘une longueur égale à AB.

On dit que le dessin en position B est l‘image du dessin en position A par la translation qui transforme A en B

ou, autrement dit,

par la translation de vecteur .

2. Propriétés des translations :

Construire l‘image d‘une figure par une translation revient à faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée.

Un tel glissement n‘entraîne pas de déformation ni de changement de disposition .

Propriétés :

Dans une translation ;

– les longueurs;

– le parallélisme;

– la perpendicularité;

– les angles

sont conservés.

– Une translation transforme une droite en une droite parallèle.

– Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable.

– Pour construire l‘image d‘une figure géométrique, on ne construit donc que l‘image de ses points caractéristiques :

– pour un segment, ses extrémités;

– pour un triangle, ses trois sommets;

– pour un cercle, son centre et son rayon.

3. Egalité de deux vecteurs :

Propriétés :

Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si :

– a. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D;

– b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs :

Propriétés :

Soient A, B et C trois points du plan, la composée de la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est la translation de vecteur .

On dit que le vecteur est la somme des vecteurs et .

On note :

( cette relation est appelée « relation de Chasles »)

Construction de la somme de deux vecteurs :

On utilise la méthode du << bout à bout>>,

C‘est à dire qu‘on représente le vecteur et a son extrémité on ajoute le vecteur et on obtient le vecteur qui est égal au vecteur (d‘après la relation de Chasles).

L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre .

ancre

IV. Composée de deux symétrie centrales :

Propriété :

Soient I et J deux points du plan,

la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de

centre J est la translation de vecteur ,

que l‘on note .

Preuve :

I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘]

On en déduit que d‘après les propriétés de la droite des milieux dans un triangle (étudié en quatrième).

cqfd

V. Coordonnées dans un repère :

1. Repères :

Trois points non alignés O,I,J ,tels que , définissent un repère du plan. On note souvent 

2. Coordonnées d‘un vecteur.

Propriété :

Dans le plan muni d‘un repère ,

si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées  .

Ces coordonnées correspondent au déplacement horizontal puis vertical pour aller de A à B (affectés de signes).

Exemple :

Dans un repère  du plan, soient A(1 ; 2) et B(3 ; 4)

donc les coordonnées de sont .

3. Coordonnées du milieu d‘un segment :

Propriété :

Dans le plan muni d‘un repère ,

si deux points A et B ont pour coordonnées respectives et  ,

alors

le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

 .

Exemple :

Dans un repère ,

on donne A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :

conclusion :

Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont (2 ; 3)

Propriété :

Dans le plan muni d‘un repère ,

si deux points A et B ont pour coordonnées respectives et .

alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Attention :

Aucune simplification n‘est possible dans cette formule entre la racine et les carrés .

Preuve :

Considérons le triangle ABC de la figure rectangle en C,

d‘après le théorème de Pythagore (étudié en quatrième)

d‘ où

Exemple :

Dans un repère du plan ,

Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :


conclusion :

La distance AB vaut .



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