Cours maths 4ème

Translation et rotation : cours en quatrième [4ème]

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La translation et la rotation en quatrième (4ème) au cycle 4.Nous étudierons la définition et les propriétés de ces deux transformations du plan.Les propriéts de conservation de l’alignement, des longueurs, des aires, des milieux et des mesures d’angles.

I. La translation

  1. Définition

Définition :

Lorsque l’on fait glisser la figure F_1 sans la faire tourner, de manière à ce que A arrive en B,elle se superpose avec la figure F_2.

translation-definition

On dit que la figure F_2 est l’image de la figure F_1 par la translation qui transforme A en B.

2. Image d’un point et d’un segment

Propriété 1 :

translation-imageL’image du point M, par la translation qui transforme A en B, est le point M’ tel queles segments [MB] et [AM’] ont le même milieu.

Si les points ne sont pas alignés alors ABM’M est un parallélogramme.

Propriété 2 :

L’image d’un segment par une translation est un segment qui lui est parallèle et de même longueur.

Exemple :

propriete-translationDans la translation qui transforme A en B, le segment [MN] a pour image le segment [M’N’].

Donc les segments [MN] et [M’N’] sont parallèles et de même longueur.

II. La rotation

Définition

Définition :

definition-rotationLorsque l’on fait tourner la figure F_1 autour du point O, d’un angle de mesure \alpha, dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, elle se superpose avec la figure F_2.On dit que la figure F_2 est l’image de la figure F_1 par la rotation de centre O et d’angle \alpha.

Remarque :

\star Dans tout ce chapitre, le sens de rotation sera toujours le sens trigonométrique (sens contraire du déplacement des aiguilles d’une montre).

\star La rotation de centre O et d’angle 180° est la symétrie centrale de centre O.

2. Image d’un point

Propriété :

rotation-image-pointOn considère O et M deux points distincts.

L’image du point M par la rotation de centre O et d’angle \alpha est le point M’ tel que :

OM'=OM  et \widehat{MOM'}=\alpha.

III. Les propriétés de la translation et de la rotation

Propriété :

La translation et la rotation conservent les longueurs, l’alignement, les aires, les milieux et les mesures d’angle.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image de ABCD par la rotation de centre O et d’angle 60°.

Le quadrilatère A_1'B_1'C_1'D_1' est l’image de ABCD par la translation qui transforme A en A_1'.

propriete-rotation

\star Les aires et les périmètres des trois quadrilatères sont égaux..

\star Les points A,B,K sont alignés donc leurs images A'_1,B'_1,K'_1 sont également alignées.

\star Le point J est le milieu du segment [BC] donc son image J’ par la rotation est le milieu du segment [B’C’].

\star L’angle \widehat{A'_1B'_1C'_1}  est l’image de l’angle \widehat{ABC} par la translation, ils ont donc la même mesure.

\star L’angle \widehat{A'B'C'}  est l’image de l’angle \widehat{ABC} par la translation, ils ont donc la même mesure.



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