Terminale S spécialité

PGCD de deux entiers naturels

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Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours d’arithmétique en terminale S spécialité, nous aborderons l’algorithme d’Euclide et les nombres premiers entre eux.

I.Le plus grand commun diviseur ( PGCD )

1.Le PGCD de deux entiers naturels

Par convention, lorsqu’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours de diviseurs positifs.

Diviseurs communs à deux nombres :

\star Pour tout entier naturel a, on note D(a) l’ensemble de ses diviseurs.

D(1)=\left \{ 1 \right \}D(0)=\mathbb{N}.

D(a) contient toujours 1 et a.

Lorsque a\neq0, le plus grand élément de D(a) est a.

\star Pour tous entiers naturels a et b non nuls, on note D(a,b) l’ensemble des diviseurs communs à a et b.

L’ensemble D(a,b) est non vide : il contient toujours 1.

De plus, tous les nombres qu’il contient sont inférieurs ou égaux à a et b.

Donc D(a,b) a un plus grand élément appelé le plus grand commun diviseur et noté le PGCD de a et b.

Exemple :

D(6)=\left \{ 1,2,3,6 \right \}

Définition 1 :

a et b sont deux entiers naturels.

Le Plus Grand Commun Diviseur à a et b est noté PGCD(a,b).

Conséquences :

Si b divise a alors pgcd(a,b)=b.

En effet, tout diviseur de b est un diviseur de a donc D(b)cD(a).

Comme b est le plus grand élément de D(b), alors b est le PGCD(a,b).

2.Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.

a et b sont deux entiers naturels non nuls, a>b .Lorsque b ne divise pas a, pour déterminer le PGCD(a,b), on utilise l’algorithme d’Euclide.

Base de l’algorithme d’Euclide :

Théorème 1 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls tel que la division euclidienne de a par b se traduise par a=bq+r avec 0\leq r<b.

Alors D(a,b)=D(b,r) ce qui entraîne que PGCD(a,b)=PGCD(b,r).

Algorithme d’Euclide :

Algorithme d'Euclide

On définit ainsi une suite (r_n) telle que 0\leq ...<r_{k+1}<r_k<...r_2<r_1<r_0<b.

Cette suite est une suite décroissante et strictement positive d’entiers naturels.Donc c’est une suite finie et il existe un entier n tel que r_n\neq0 et r_{n+1}=0.

Or, r_{n+1}=0 signifie que r_n divise r_{n-1}, d’où :

PGCD(a,b)=PGCD(b,r_0)=PGCD(r_0,r_1)=...=PGCD(r_{n-1},r_n)=r_n

Théorème 2 :

Lorsque b ne divise pas a, le PGCD(a,b) est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Théorème 3 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.

  1. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de PGCD(a,b).
  2. Quel que soit l’entier c>0, PGCD(ac,bc)=c \times  PGCD(a,b).

3.Nombres premiers entre eux

Définition 2 :

Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.

Théorème 4 : caractérisation du PGCD.

a et b sont deux entiers naturels non nuls

\Delta est le PGCD(a,b) équivaut à il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels que  :

a=\Delta a'b=\Delta b'  et PGCD(a',b')=1.

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