Cours maths 3ème

Cours sur la notion de fonction et les généralités

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Un cours sur les généralités et la notion de fonction numérique en classe de troisième.Nous aborderons la notion de fonction avec la définition de l’image et de l’antécédent ainsi que le tableau de valeurs et la courbe représentative d’une fonction en 3ème.

I. Notion de fonction : première approche.

Activité d’introduction :

On considère le rectangle MNOP, la longueur x, exprimée en cm, désigne un nombre compris entre 4 et 10.

rectangle

rectangle

1. Calculer l’aire du rectangle pour x=4.

L’aire du rectangle est A_{MNOP}=(4-4)(10-4)=0\times  6=0\,cm^2

Soit f la fonction qui, à tout nombre x, fait correspondre l’aire du rectangle MNOP que l’on note f(x) .

Schéma d'une fonction

Schéma d’une fonction

2. Exprimer f(x) à l’aide de la variable x.

f(x)=Aire_{MNOP}=Longueur\times  largeur=(10-x)(x-4)

f(x)=10x-40-x^2+4x

{\color{DarkRed}f(x)=-x^2+14x-40 }

3. Calculer f(5) qui est l’image de 5 par la fonction f.

f(5)=-5^2+14\times  5-40=-25+70-40=5\,cm^2

4. Calculer l’image de 4 par la fonction f, c’est-à-dire f(4).

f(4)=-4^2+14\times  4-40=-16+56-40=0\,cm^2

5. Interpréter ce résultat.

Lorsque la longueur x vaut 4 cm, l’aire du rectangle MNOP vaut 0\,cm^2.

Remarque : le rectangle MNOP est réduit au segment [MN].

6. compléter le tableau de valeurs suivant :

x4567,58,59
f(x)0588,756,755

3. Dans le tableau précédent, on lit f(6)=8.

6 étant un antécédent de 8 par la fonction f.

a. Donner un antécédent de 6,75.

Un antécédent de 6,75 par la fonction f est x = 8,5 cm.

b. Déterminer, d’après le tableau ci-dessus, deux  antécédents du nombre 5.

Deux antécédents de 5 par la fonction f sont x = 5 cm et x = 9 cm.

c. Pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle MNOP vaut-elle 5 ?

D’après la question 3.b., l’aire du rectangle MNOP vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou x vaut 9 cm.

II .Vocabulaire et notations sur la notion de fonction :

1. Définition :

Une fonction f est un processus mathématiques qui à tout nombre x associe un unique nombre, noté f(x).

Le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.

Le nombre x est appelé l’antécédent du nombre f(x) par la fonction f.

Schématisation d'une fonction

Schématisation d’une fonction

2. Notations :

Il existe deux façons de noter une fonction :

– Soit f la fonction définie par f(x)= 3x+7 .

– ou f:x \mapsto  3x+7 se lit la fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 3x+7.

Exemple :

Considèrons le programme de calcul suivant :

– choisir un nombre x

– Multiplier le résultat par 2

– Ajouter 5

Soit la fonction f qui au nombre x choisi au départ associe le nombre f(x) obtenu à la fin du programme de calcul.

Nous obtenons la fonction f définie par f(x)= 2x+5 .

Schéma de la fonction f

Schéma de la fonction f

Calculons l’image de  – 3 par cette fonction  f :

– 3 est donc un antécédent donc une valeur de x.Remplçons x par – 3 dans l’expression de f pour calculer cette image.

f(-3)=2\times  (-3)+5=-6+5=-1

donc l’image de – 3 par cette fonction f est – 1 et réciproquement, – 3 est un antécédent de – 1 par cette fonction f.

Calculons un antécédent de 7 par cette fonction f :

7 est donc une image, on cherche un antécédent de 7, c’est à dire que l’on cherche un nombre x tel que f(x)= 7.

Nous sommes amenés à résoudre l’équation suivante :

f(x)=7\\2x+5=7\\2x+5-5=7-5\\2x=2\\\frac{2x}{2}=\frac{2}{2}\\x=1

donc un antécédent de 7 par la fonction f est 1.

Nous pouvons le vérifier en calculant l’image de 1, on doit retrouver 7.

f(x)=2x+5

{\color{DarkRed} f(1)=2\times  1+5=2+5=7}

III. Courbe représentative d’une fonction :

1. définition  :

Soit f une fonction telle que f:x \mapsto  f(x).

Soit a un nombre relatif et f(a) son image par la fonction f.

Dans un repère orthonormé, on considère les points M de coordonnées M (a;f(a)) .

L’ensemble C_f de ces points constitue lareprésentation graphique ( ou courbe représentative) de la fonction f dans ce repère.

Courbe représentative d'une fonction f

Courbe représentative d’une fonction f

Exemple :

Reprenons l’activité du début du cours et la fonction f qui a la longueur x associe l’aire du rectangle MNOP.

Nous avions obtenu l’expression de la fonction f qui est  {\color{DarkRed}f(x)=-x^2+14x-40 }

2. Tableau de valeurs :

A l’aide d’un tableur, complètons le tableau de valeurs suivant afin de tracer la courbe représentative de cette fonction f.

Tableau de valeurs

Tableau de valeurs

Voici ce que donne la courbe de la fonction f :

Courbe de la fonction f

Courbe de la fonction f

A l’aide du logiciel de géométrie dynamique GEOGEBRA, nous pouvons créer le rectangle MNOP et faire varier la valeur de x entre 4 et 10 et faire afficher dans une seconde fenêtre la courbe de la fonction f, voilà ce que cela donne :

Figure et courbe représentative de la fonction f construite avec le logiciel GEOGEBRA

Figure et courbe représentative de la fonction f construite avec le logiciel GEOGEBRA

 3. Déterminer graphiquement une image ou un antécédent

a. Déterminer une image à l’aide de la courbe de la fonction f

Déterminer l’image de 6 par la fonction f.

Déterminer l'image

Déterminer l’image

L’image de 6 par la fonction f est 8 ce qui équivaut à écrire f(6)=8.

En pratique, cela signifie que lorsque x vaut 6 cm alors l’aire du rectangle MNOP est de 8 cm².

b. Déterminer un antécédent à l’aide de la courbe de la fonction f

Déterminer le(s) antécédent(s) de 5 par la fonction f.

Déterminer l'antécédent

Déterminer l’antécédent

Il existent deux antécédents de 5 par la fonction f qui sont 5 et 9 ce qui équivaut à écrire que f(5)=5 et que f(9)=5.

En pratique cela signifie que l’aire du rectangle vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou lorsque x vaut 9 cm.



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