Maths et Histoire.

Préhistoire des mathématiques : Égypte, Assyrie, Phénicie, Inde.

« Qu’il y ait eu une mathématique préhéllénique fort développée, c’est ce qui ne saurait aujourd’hui être mis en doute. Non seulement les notions (déjà fort abstraites) de nombre entier et de mesure des grandeurs sont-elles couramment utilisées dans les documents les plus anciens qui nous soient parvenus d’Égypte ou de Chaldée, mais l’algèbre babylonienne, par l’élégance et la sûreté de ses méthodes, ne saurait se concevoir comme une simple collection de problèmes résolus par tâtonnements empiriques. Et, si l’on ne rencontre dans les textes rien qui ressemble à une démons-tration au sens formel du mot, on est en droit de penser que la découverte de tels procédés de résolution, dont la généralité transparaît sous les applications numériques particulières, n’a pu s’effectuer sans un minimum d’enchaînements logiques. » (Bourbaki, Éléments d'histoire des maths)
Le papyrus Rhind, rédigé par le scribe Ahmès vers 1640 av. J.C., est notre principale source d’information sur les mathématiques égyptiennes. Il contient une table de division de 2 par les nombres impairs compris entre 5 et 101, un recueil de problèmes arithmétiques concrets et regroupés par thèmes (partages de pains selon divers proportions, opérations sur les fractions, équations du premier degré, règle de trois, progressions arithmétiques et géométriques, etc), et une section consacrée à la géométrie : volumes de récipients cylindriques et parallélépipédiques, aires de triangles, rectangles, etc. L’aire d’un cercle de diamètre D est estimée à (8D/9)2. Ahmès déclare avoir copié ces problèmes sur un document remontant à env. 2000 av. J. C.

Les mathématiques grecques

VIème siècle avant notre ère : La fondation pythagoricienne.
Les pères fondateurs : Thalès de Milet (625-547), géomètre et astronome, aurait donné les premiers théorèmes et les premières démonstrations. Pythagoras de Samos (585-500), thaumaturge, moraliste et législateur grec, fonde la philosophie et les mathématiques : « Tout est nombre ». Contemporain de Zarathoustra (628-551), du Buddha (563-483) et de Confucius (551- 479), Pythagore fut, comme eux, un fondateur d’ordre religieux. Mais à la différence des trois autres, la religion pythagoricienne donne une place éminente à la connaissance mathématique.
Dans sa Vie de Pythagore, Porphyre écrit : « En ce qui concerne son enseignement, la plupart affirment qu'il a appris des Égyptiens et Chaldéens ainsi que des Phéniciens ce qui touche aux sciences dites mathématiques. En effet, si la géométrie a passionné les Égyptiens depuis des temps très reculés, les Phéniciens, eux, se sont fait une spécialité des nombres et des calculs arithmétiques, et les Chaldéens de la spéculation astronomique.», et Aristoxène de Tarente, dira de Pythagore qu’il « semble avoir attaché une suprême importance à l’étude de l'arithmétique, qu’il développa et éleva au-dessus des besoins des marchands. »
Ainsi, les anciens étaient conscients de la double coupure pythagoricienne :
• coupure religieuse : le nombre est divin, il enferme la beauté et l’ordre du monde.
• coupure rationnelle : il ne suffit pas d’observer les propriétés des nombres et des figures, il faut les démontrer.
« Au VIè siècle avant Jésus-Christ, nous trouvons tout à coup, comme créée de rien, une galaxie de philosophes de la nature à Milet, Élée, Samos, qui disputent des origines et de l’évolution de l’univers, de sa forme et de sa substance, de sa structure et de ses lois en des termes qui depuis lors sont à jamais incorporés à notre vocabulaire et à nos matrices de pensée. Ils sont en quête de principes fondamentaux et de substances primordiales sous-jacents à toute diversité : quatre éléments, quatre humeurs, atomes tous identiques se mouvant selon des lois absolues. Les pythagoriciens tentent la première grande synthèse : ils essayent de tisser les fils séparés de la religion, de la médecine, de l’astronomie et de la musique pour en faire une seule étoffe à dessin géométrique austère. Cette étoffe n’est pas encore achevée aujourd’hui, mais le canevas en fut composé au cours des trois siècles de l’âge héroïque de la science grecque entre Thalès et Aristote. » (A. Koestler, Le cri d'Archimède).
Vème siècle avant notre ère, les pythagoriciens : Philolaos de Crotone (nombres premiers et composés), Hippase de Métaponte (découverte des irrationnels), Hippocrate de Chios, Démocrite l’atomiste (formule du volume d’une pyramide), les Éléates (Élée, ville du sud de l’Italie) : Parménide et Zénon, et leurs fameux paradoxes. Le sophiste Hippias d’Élis, et son frère Dinostrate, géomètres.
150 ans avant Euclide, Hippocrate de Chios (~460 av. J.C.) écrit les premiers Éléments de mathématiques, il démontre l’ensemble des propositions mathématiques à l’aide d’un petit nombre de principes : définitions, postulats et axiomes ; il invente le raisonnement par l’absurde, et établit la quadrature des lunules.
Avec les pythagoriciens, l’univers des mathématiques s’est agrandi. Ils ont introduit la musique et la mécanique. Leur vision mystique des nombres ne les a pas empêchés de fonder l’arithmétique comme la science des nombres ; ils classifient les nombres entiers. C’est à eux que l’on doit les premières véritables démonstrations de l’Histoire. Ils démontrent, par exemple, que tous les triangles ont en commun d’avoir la somme de leurs angles égale à 180 degrés, et découvrent le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre. Trois problèmes fameux vont traverser les siècles : duplication du cube, trisection de l’angle et quadrature du cercle.
Première crise des fondements : la découverte des irrationnels. On attribue la découverte de l’irrationnalité de 2 (rapport de la diagonale au côté du carré) à Hippase de Métaponte. La légende dit qu’elle s’est produite au cours d’un voyage en mer des pythagoriciens, et qu’ils ont jeté Hippase par-dessus bord, car il contredisait un élément central de la doctrine de Pythagore, qui énonce que tout phénomène naturel se mesure par des rapports en nombres entiers. IVème siècle avant notre ère.
École d’Athènes. Théodore de Cyrène, professeur de mathématiques de Platon, démontre l’irrationnalité de 3 , 5 , 7 , 11 et 17 . Théétète, ami de Platon, généralise ce résultat et découvre les deux derniers polyèdres réguliers, l’octaèdre et l’icosaèdre. Platon (428-347 av. J. C.) et son Académie : « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». « Si la géométrie oblige à contempler l'essence, elle nous convient ; si elle s’arrête au devenir, elle ne nous convient pas. (…) Elle a pour objet la connaissance de ce qui est toujours et non de ce qui naît et périt. Par suite, mon noble ami, elle attire l'âme vers la vérité, et développe en elle cet esprit philosophique qui élève vers les choses d'en haut les regards que nous abaissons à tort vers les choses d'ici-bas. Il faut donc, autant qu'il se peut, prescrire aux citoyens de ta Callipolis de ne point négliger la géométrie ; elle a d'ailleurs des avantages secondaires qui ne sont pas à mépriser. Ceux que tu as mentionnés, et qui concernent la guerre ; en outre, pour ce qui est de mieux comprendre les autres sciences, nous savons qu'il y a une différence du tout au tout entre celui qui est versé dans la géométrie et celui qui ne l'est pas. » (La République, Livre VII, 526) .
Eudoxe de Cnide, créateur avec Antiphon de la méthode d'exhaustion, ancêtre du calcul intégral. Alexandre le Grand a pour précepteurs le philosophe Aristote, qui écrit la Logique (science du raisonnement), et le mathématicien Ménechme, qui définit et classifie les coniques. Le péripapéticien Eudème de Rhodes est historien des mathématiques et de l’astronomie. Aristoxène de Tarente écrit un grand traité de musique.
IIIème siècle av. J.-C. : L’âge d’or des mathématiques grecques.
Le Grand Trio : Euclide de Mégare (365-300) publie les Éléments, présentation axiomatique des théorèmes obtenus depuis trois siècles en géométrie et en arithmétique. Nette prédominance de la géométrie. Les Éléments d’Euclide vont marquer les esprits : Spinoza, Li Shan Lan, Bourbaki. Archimède de Syracuse (287-212) : géométrie, prémices du calcul intégral et de la physique... et premières applications militaires des mathématiques. Apollonios de Perge (262-190) écrit un grand traité sur les Coniques.
À partir du IIIème siècle avant notre ère (presque) tout va se passer à Alexandrie. Période dite hellénistique. Nées après les voyages de Thalès et Pythagore en Égypte, les maths grecques retournent au pays de leurs origines.
Aristarque de Samos (310-230), astronome, conçoit le premier système héliocentrique, affirmant que la Terre tourne sur elle-même et autour du Soleil. Ératosthène (276-197), mathématicien (le crible), astronome, géographe, directeur de la bibliothèque d’Alexandrie, a effectué la première mesure rigoureuse de la Terre. IIème siècle avant notre ère : Hipparque précurseur de la trigonométrie et Théodose, l'astronome. Ier siècle avant notre ère Héron, le mécanicien.
La réflexion philosophique et scientifique se poursuit dans la moitié grecque de l’Empire romain, notamment à Alexandrie, avec ses écoles et sa bibiothèque, jusqu’au Vème siècle de notre ère. IIème siècle ap. J.-C. : Claude Ptolémée, géographe et astronome, et son système géocentrique. Nicomaque de Gérase, Théon de Smyrne (théorie des nombres), Ménélaos (sections coniques). IIIème siècle ap. J.-C. : L’âge d’argent des mathématiques grecques. Diophante, précurseur de l’algèbre. Dans les mathématiques euclidiennes, «la prépondérance écrasante de la Géométrie (en vue de laquelle est manifestement conçue la théorie des grandeurs) paralyse tout développement autonome de la notation algébrique : les éléments entrant dans les calculs doivent, à chaque moment, être "représentés" géométriquement.» (Bourbaki, loc cit.) Or la somme de deux longueurs est une longueur, leur produit est une aire, ce qui interdit la notion de polynôme. Les Arithmétiques de Diophante contiennent 13 livres. Elles renouent avec la tradition des calculateurs professionnels, égyptiens et babyloniens, et introduient les exposants, la règle des signes, etc. Mais la découverte de l’algèbre est trop tardive pour relancer la science antique, et ne sera exploitée que par les Arabes.
IVème siècle. Pappus, synthèse de la géométrie des siècles précédents. Le géomètre Théon d’Alexandrie, commentateur d’Euclide, et sa fille et collaboratrice Hypatie, mathématicienne et néoplatonicienne, massacrée en 415 par des chrétiens fanatiques.2 Vème siècle. Les "grands commentateurs" des mathématiques grecques : Proclus commente Euclide, Eutocius Apollonios et Archimède. VIème siècle. Le sénateur Boèce, dernier mathématicien de l’Antiquité… et le seul romain !
Fin des mathématiques grecques.

Les mathématiques dans le monde arabe, du IXème au XVème siècle.

Après quelques siècles de somnolence, entre le Vè et le VIIIè de notre ère, le savoir grec fut repris par les mathématiciens arabes qui, après l’avoir assimilé, le firent fructifier. C’est en passant par Byzance, la chrétienne, que les mathématiques de l’Alexandrie païenne parvinrent à Bagdad, la capitale de l’Islam.
Les savants arabes, particulièrement ceux du IXè et Xè siècle, eurent la particularité d’être tout à la fois de grands mathématiciens et des traducteurs accomplis. Ils se lancèrent dans une immense entreprise de traduction des textes des mathématiciens grecs, Euclide, Archimède, Apollonios, Ménélaos, Diophante, Ptolémée. Ce qui leur permit d’assimiler le savoir mathématique de l’Antiquité, puis de l’élargir considérablement, tout en créant de nouveaux champs mathématiques absents du savoir grec. Ils s’abreuvèrent également à d’autres sources, principalement à la source indienne.
Point commun avec leurs prédécesseurs grecs, les savants arabes sont "à spectre large", maths, médecine, astronomie, philosophie, physique. Les mathématiciens arabes ont créé l’algèbre, la combinatoire, la trigonométrie. Début du IXè siècle. Bagdad, al-Khwarizmi (algèbre, équations du 1er et 2è degré à une inconnue). Égypte, Abu Kamil, élargit le champ de l’algèbre (systèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues). Al-Karaji, premier à considérer les quantités irrationnelles comme des nombres. AlFarisi jette les bases de la théorie élémentaire des nombres. Il établit que : «Tout nombre se décompose nécessairement en facteurs premiers en nombre fini, dont il est le produit. » Deuxième moitié du IXè. Géométrie, toujours à Bagdad, les trois frères Banu Musa. Puis, trois autres savants, Thabit ibn Qurra, al-Nayziri et Abu al-Wafa (calculs d’aires : paraboles, ellipses, théorie des fractions, construction d’une table de sinus, fondateur de la trigonométrie comme domaine mathématique autonome).
Fin du Xè siècle. Deux grands savants, le géographe al-Biruni, astronome et physicien, et Ibn alHaytham, le "al-Hazen" des Occidentaux (théorie des nombres, géométrie, méthodes infinitésimales, optique, astronomie. Mais pas d’algèbre!). Ibn al-Khawwam se pose ce qui plus tard va devenir la célèbre conjecture de Fermat : un cube ne peut être la somme de deux cubes, l’équation x3 + y3 = z3 n’a pas de solution en nombres entiers. Deux autres grands mathématiciens, Al-Karaji, à la fin du Xè siècle, et al-Samaw’al, au XIIè siècle, qui poursuivit son œuvre. Al-Samaw’al pose un système de 210 équations à 10 inconnues. Et le résout ! Arithmétisation de l’algèbre : applications à l’inconnue des opérations +, -, ×, : , extraction des racines carrées, que l’arithmétique utilisait exclusivement pour les nombres. Élargissement du calcul sur les nombres au calcul algébrique. Al-Karaji étudie les exposants algébriques : x n et 1/xn. Al-Samaw’al utilise les quantités négatives, démontrant la règle fondamentale du calcul sur les exposants : xm xn = xm+n. Il est l'un des premiers à user de la démonstration par récurrence pour établir des résultats mathématiques, principalement en théorie des nombres. Calcul de la somme des n premiers nombres entiers, de la somme de leurs carrés, de celle de leurs cubes.
Fin du XIè siècle. Omar Khayyam, grand algébriste persan, astronome et poète : c’est l’auteur des fameux quatrains.
Mon cœur n’a jamais été privé de la science : Peu de secrets me restent inaccessibles.
Après avoir réfléchi, jour et nuit, pendant soixante-douze ans, J’ai fini par comprendre que rien ne m’est évident! Fin XIIè. Sharaf al-Din al-Tusi, grand algébriste aussi. Il utilise des procédés qui préfigurent la notion de dérivée, cinq cents ans avant les mathématiciens occidentaux. XIIIè. Nasir al-Din al-Tusi (astronome, réformateur du système de Ptolémée). Début XVè. Aboutissement des mathématiques arabes ; al-Kashi, directeur de l’observatoire de Samarcande, fait la synthèse des mathématiques arabes depuis sept siècles : liens entre l’algèbre et la géométrie, liens entre l’algèbre et la théorie des nombres ; trigonométrie et analyse combinatoire (étude des différentes façons de combiner les éléments d’un ensemble) ; résolution d’équations par radicaux (calcul des solutions des équations en n’utilisant que les quatre opérations et les racines carrées, cubiques, etc., et rien d’autre).

Le second âge héroïque de la science : de 1600 à 1730.

1er janvier 1600 : rencontre de Tycho Brahé, astronome du roi de Danemark, et de Johann Kepler, professeur de mathématiques nommé à Graz par l’empereur Rodolphe II. Le premier a observé les astres pendant des années, le second déborde d’idées : des données de Tycho, Kepler va tirer les trois lois que plus tard Newton interprétera. Les mathématiques baroques. Les mathématiciens ne sont plus artistes, mais leur spécialisation est très lente : ils sont encore souvent philosophes, théologiens, physiciens, alchimistes, et de profession magistrats, prêtres, etc.
– Fractions continues de Cataldi. Invention des logarithmes : Napier et Brüggi, Briggs.
– Algèbre : Albert Girard, Harriot, Oughtred.
– Géométrie analytique (qui établit un lien entre nombres et espace par l’entremise de l’algèbre) : Fermat, Descartes.
– Géométrie des indivisibles : Cavalieri, Roberval, Fermat, Grégoire de Saint-Vincent.
– Calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral) : Wallis, Gregory, Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716), la dynastie des Bernoulli, Taylor, Mac Laurin, Stirling.
– Théorie des nombres : Mersenne, Fermat.
– Musique théorique : Mersenne.
– Probabilités et combinatoire : Fermat, Pascal, Leibniz, Jacques Bernoulli.
– Géométrie : Desargues, Pascal, La Hire...
- Optique : Kepler, Fermat, Descartes
– Mécanique et astronomie : la révolution copernicienne est poursuivie par Kepler (1571-1630) et Galilée (1564-1642), puis parachevée par Newton : «Il fallait être Newton pour apercevoir que la lune tombe, quand tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas » (Paul Valéry). Les sociétés savantes privées et publiques donnent naissance aux Académies : Accademia dei Lincei (Rome 1603), Royal Society (Londres, 1662), Académie des sciences (Paris, 1666), Académies de Berlin (1697) et Saint-Pétersbourg (1726). En France, la Révocation de l’Édit de Nantes chasse A. de Moivre.

L’âge d’or de l’analyse : de 1730 à 1830.

Le XVIIIème siècle est une « période d’assimilation, de consolidation, de bilan, c’est l’âge des vulgarisateurs, des hommes du classement et des systèmes, (...) des "philosophes" et des Encyclopédistes » (Koestler). Triangulation de la France par la dynastie des Cassini, expéditions scientifiques en Laponie et au Pérou sous Louis XV, mise au point d’une méthode précise de détermination de la longitude en mer par John Harrison.
Époque classique. C’est l’âge d’or de l’analyse. Après les nombres et les figures, les fonctions deviennent les objets privilégiés des mathématiques. Équations différentielles, étude des courbes, nombres complexes, théorie des équations, calcul des variations, trigonométrie sphérique, calcul des probabilités, mécanique. La résolution des problèmes posés au début du siècle par Leibniz et Newton, quadratures, intégration des équations différentielles, a fait de grands pas.
Revues scientifiques : Comptes rendus de l’Académie des sciences de Paris, Annales de Gergonne, Bulletin de Férussac, Journal de Liouville en France, Journal de Crelle en Allemagne, etc.
Déclin des mathématiques britanniques ; les élites sont draînées vers des utopies pratiques : navigation, colonisation, industrialisation, etc..
Paris, capitale mondiale des mathématiques.
Après avoir rejeté les théories anglaises de Newton, au nom des tourbillons de Descartes, les Français en deviennent les champions : Fontenelle, Voltaire, Clairaut, d’Alembert, Laplace. Vis à vis de la science, la Révolution française hésite entre deux lignes politiques : "spartiates" (Robespierre) partisans d’un enseignement élémentaire pour tous, contre "athéniens" (Carnot) partisans d’institutions de pointe. La synthèse de l’abbé Grégoire fédère les énergies, mais le 9 Thermidor assure la victoire de l’élitisme bourgeois. C’est l’épopée polytechnicienne : Lagrange, Vander-monde, Monge, Laplace, Legendre, Fourier, Poisson, Poncelet, Cauchy, Chasles, Sturm, Liouville...
Rayonnement des mathématiques françaises : les traités de Legendre, Francœur, Lacroix, sont lus par le grec Carandinos, le norvégien Abel, le russe Tolstoï... Les jeunes mathématiciens étrangers (Ostrogradski, Carandinos, Abel, Lejeune-Dirichlet) viennent étudier à Paris.
Un génie précoce au destin tragique, Évariste Galois (1811-1832), parachève la résolution des équations algébriques, et annonce les théories modernes des groupes et des corps. Le génie de Galois sera reconnu en 1844 par Liouville, mais son œuvre ne sera comprise qu’après 1870, avec les travaux de Jordan, Kronecker, Dedekind et Hilbert.
Lente montée en puissance des mathématiques allemandes et est-européennes, stimulée par les despotes éclairés (Pierre le Grand, Catherine II, Frédéric II…). Aux savants éclectiques (Leibniz, Tschirnhaus, von Segner, Lichtenberg, Kaestner) succèdent des scientifiques purs : Lambert, Pfaff, et surtout deux esprits universels, le suisse Léonard Euler (1707-1783) à Saint-Pétersbourg et Carl Friedrich Gauss (1777-1855) à Göttingen. Un génie précoce, le norvégien Niels Abel (1802-1829) (séries entières, fonctions elliptiques et intégrales abéliennes).
Pas de mathématiques en Espagne et au Portugal, en raison du départ des Arabes et de l’exode des Juifs (1492), de la toute puissance de l’Église et de l’Inquisition, et de l’absence de despotes éclairés.

Mathématiques d’aujourd’hui : de 1918 à nos jours.

« Nous devons savoir, nous saurons », telle fut la devise de Hilbert. Certes, le théorème d’incomplétude de Gödel (1931) a marqué les limites internes de l’optimisme hilbertien, en montrant, d’une part, l’impossiblité de démontrer la consistance d’un système axiomatique englobant la théorie des nombres à l’intérieur de ce système, et d’autre part, l’existence de propositions indécidables. Mais l’extraordinaire essor des mathématiques depuis 1918 semble au contraire conforter cet optimisme. Les années 30 voient la publication des premiers exposés synthétiques des différentes théories. Ils mettent l’accent sur les structures fondamentales, plus que sur les problèmes qui leur ont donné naissance.
En Italie, les mathématiques se développent sans à-coups depuis le XVIème siècle.
- Analyse fonctionnelle : Volterra, Caccioppoli (ami d’André Gide), de Giorgi.
- Théorie des nombres : Bombieri.
- Géométrie algébrique : Severi, Albanese.
Le renouveau bourbakiste.
Dans les années 20, la France, saignée par la guerre de 14, a peu de mathématiciens d’envergure : Hadamard, E. Cartan, Borel, Julia... Aussi, à la fin des années 20, les jeunes normaliens (Weil, Dieudonné, Ehresmann, Chevalley, Leray, de Possel, Dubreil, Cavaillès) prennent le chemin de l’Allemagne ; à leur retour, plusieurs fondent en 1935 le groupe Bourbaki : cet Euclide collectif publie des Éléments de mathématiques, et organise un Séminaire. Il remet en selle les mathématiques françaises, et les propulse au troisième rang mondial : H. Cartan, A. Weil, J. Dieudonné, L. Schwartz, G. Choquet, R. Thom, J.-P. Serre, A. Grothendieck, J. Tits, P. Cartier, A. Connes, J.-C. Yoccoz, P.-L. Lions, L. Lafforgue, R. Cerf, etc…

Après les brillantes années de la République de Weimar (Hausdorff, Dehn, Hecke, Hasse, Artin, Schreier, Siegel), les mathématiques allemandes sont détruites en deux ans par les nazis. Exode des juifs, des démocrates, mise à l’écart des femmes : Hausdorff, Landau, Schur, E. Noether, R. Moufang... Les départs des mathématiciens allemands, puis autrichiens, vers la France, l’Angleterre, les États-Unis ou la Palestine, s’échelonnent de 1933 à 1940 : Einstein, Courant, E. Noether, Weyl, Brauer, Hellinger, Toeplitz, Gödel, Schur, Artin, Siegel, Dehn, etc. Suicides d’Epstein et Hausdorff ; Tauber meurt en camp. Wolfgang Doeblin (1915-1940), fils de l’écrivain expressionniste Alfred Doeblin, suit son père en exil en France ; il fait une thèse de probabilités en Sorbonne en 1936 et s’engage dans l’armée française ; il se donne la mort en juin 40. Deux mathématiciens nazis : le vieux Bieberbach et le jeune Teichmüller (l’Évariste Galois nazi). Göttingen est reconvertie en centre d’hydrodynamique et d’aéronautique. Les mathématiciens participent à la Blietzkrieg, et ne sont rapatriés dans des centres de recherche qu’en 1942 (KZuse), mais il est trop tard. Les mathématiques allemandes ne se remettent du nazisme et de la reconstruction d’après-guerre que dans les années 1970-80 (Faltings).

En Angleterre, les mathématiques retrouvent progressivement leur universalité. Elles se convertissent avec retard au structuralisme : logique et calculabilité (Ramsey, Turing), géométrie (Coxeter), analyse (Littlewood, Titchmarsh), géométrie algébrique (Atiyah), approximations diophantiennes (Roth, Baker), théorie des nombres (Mordell, Coates, Wiles), analyse harmonique (Paley). Immigration venue de Russie (Besicovitch) et d’Allemagne (Mahler).

Aux États-Unis, les mathématiques ne prennent leur essor qu’à la fin du XIXème siècle (Yale, Chicago, Harvard) ; elles comptent alors plusieurs mathématiciens de talent : Peirce, Gibbs, Osgood, Veblen, Moore. Les vagues d’immigration, surtout celle de 1933-38, propulsent la science américaine au premier rang. Courant fonde un Institut de maths appliquées sur le modèle de celui qu’il avait créé à Göttingen en 1925. La seconde guerre mondiale et la guerre froide entraînent la formation d’un complexe militaro-industriel grand consommateur de mathématiques «utiles». La compétition économique prend la relève...
– Logique et théorie des ensembles : Post, Church, Kleene, Julia Robinson, Cohen.
– Géométrie algébrique : Zariski (qui émigre de Russie via l'Italie), Jacobson, Hironaka, Mumford.
– Géométrie différentielle : Milnor, Thurston, Witten, Freedman, Donaldson.
– Théorie des groupes : Brauer, Gorenstein, Griess.
– Systèmes dynamiques : Birkhoff, Smale.
– Probabilités et statistiques : Fisher, J. Neyman, W. Feller.
– Cybernétique : Wiener, Shannon.

Après la révolution de 1917, éclosion d’une brillante école soviétique.
– Topologies générale et algébrique : Lusin, Souslin, Urysohn, Alexandrov, Tichonov.
– Mesure, analyse fonctionnelle et probabilités : Lusin, Kolmogorov, Gelfand.
– Théorie des nombres : Schnirelmann, Vinogradov, Linnik, Chafarevitch, Margoulis.
– Logique et algèbre : O. Schmidt, Malcev, Matiassevitch.
– Systèmes dynamiques : Pontriaguine, Arnold, Anosov.
– Physique mathématique : Pontriaguine, Petrowski, Sobolev.
– Économie mathématique : Leontieff, Kantorovitch.

Peu de répression parmi les mathématiciens (Egorov, Lusin, Krawtchouk), les mathématiques étant moins perméables que des sciences plus récentes (biologie) aux intrusions idéologiques, et de plus nécessaires au complexe militaro-industriel. Avant et après la fin de l’URSS, émigration vers l’occident.

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