Mathovore

galois evariste (mathematicien)

Evariste Galois (Bourg-la-Reine, 25 octobre 1811 – Paris, 31 mai 1832) est un mathématicien français. Il a entre autres laissé son nom à la théorie de Galois, qui étudie la résolubilité des équations algébriques à partir des groupes de permutations de leurs racines et qui est considérée comme un ingrédient important dans le point de vue structural des mathématiques modernes. Il a aussi contribué à l’élaboration des « corps de Galois », autre nom des corps finis, qui jouent par exemple un rôle essentiel en cryptographie. Les démêlés de Galois avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d’ombre entourant sa mort prématurée, contrastant avec l’importance reconnue maintenant à ses travaux, ont contribué à en faire l’incarnation même du génie malheureux.
Biographie :

Sauf indication contraire, les renseignements qui suivent sont tirés de la principale source biographique due à Paul Dupuy1.
Évariste Galois naquit le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine. C’était le deuxième enfant de Nicolas-Gabriel Galois, qui devint maire de Bourg-la-Reine en 1815, et de Adélaïde-Marie Demante, issue d’une famille de juristes.
Il intégra en 1823 le collège Louis-le-Grand en classe de quatrième et obtint tout d’abord des prix en latin et en grec. Néanmoins, il redoubla sa seconde et, suite à une réforme pédagogique, suivit des cours de mathématiques qui le passionnèrent ; il commença à lire directement les travaux des mathématiciens, en particulier les Éléments de géométrie de Legendre, les traités algébriques et analytiques de Lagrange, les Recherches arithmétiques de Gauss. En 1826, Galois obtint un prix en mathématiques au concours général et, l’année suivante, l’un de ses professeurs déclara à son sujet : « C’est la fureur des mathématiques qui le domine ; aussi je pense qu’il vaudrait mieux pour lui que ses parents consentent à ce qu’il ne s’occupe que de cette étude ».

Galois décida de se présenter dès l’été 1828 au concours d’entrée à l’École polytechnique, sans être passé comme il était d’usage par une classe de mathématiques spéciales, et y échoua une première fois.

En 1829, toujours élève de Louis-le-Grand, cette fois dans la classe de Louis-Paul-Émile Richard qui reconnut son talent, il publia en mars dans les Annales de mathématiques pures et appliquées de Gergonne son premier article, portant sur le développement en fractions continues des racines d’un polynôme, et proposa ses premiers mémoires sur la théorie des équations à l’Académie des sciences le 25 mars et le 1er juin. Il se présenta cette année-là à la fois à l’École préparatoire, ancien nom de l’École normale supérieure (rue d’Ulm), et à l’École polytechnique. Le suicide de son père, Nicolas-Gabriel Galois, le 2 juillet 1829, à la suite d’attaques politiques, précéda de peu son deuxième échec à l’entrée de cette dernière.
Galois entra alors à l’École préparatoire. Il obtint en décembre2 ses deux baccalauréats (nécessaires pour valider son admission) et, comme tous les élèves de l’École, signa un engagement de dix ans avec l’Université, en février 1830. Dans les mois qui suivirent, il soumit deux nouveaux articles sur la théorie des équations, ainsi qu’un article sur la théorie des nombres dans le Bulletin de Férussac ; ces articles furent publiés en 1830. Selon la légende, le rapporteur des premiers mémoires, à savoir Cauchy, les aurait égarés. Mais certains historiens des mathématiques, comme René Taton et Tony Rothman, estiment plus vraisemblable que Cauchy aurait refusé de les présenter pour que Galois puisse soumettre au Grand Prix des sciences mathématiques de 1830 un mémoire, révisé, sur la résolubilité des équations algébriques ; mais le Prix échut à Abel  et à Jacobi. Le manuscrit de Galois avait été envoyé à Fourier, qui mourut en mai ; le mémoire fut annoncé perdu. Selon un article publié dans le journal Le Globe en juin 1831, Cauchy aurait pourtant mentionné aux membres du jury son intérêt pour les travaux de Galois : « M. Cauchy avait à ce sujet prodigué les plus grands éloges à son auteur ».
La Révolution de juillet 1830 marqua le début de son engagement politique du côté républicain. Les élèves de l’École préparatoire (dont Galois) furent enfermés pour les empêcher de prendre part à l’insurrection parisienne. À la rentrée, la direction de l’École repoussa leur demande d’avoir des armes et de « s’exercer aux manœuvres militaires, afin de pouvoir défendre le territoire, en cas de besoin ». Un texte acerbe contre le directeur de l’École, Guigniault, publié dans la Gazette des Écoles, conduisit en décembre 1830 à l’expulsion de Galois, qui venait d’obtenir sa licence. À la même période, il semble s’être engagé dans la Société des Amis du Peuple, dont faisait partie l’artillerie de la garde nationale et se consacra dès lors très activement au combat politique.
Galois soumit un autre mémoire à l’Académie sur la résolution des équations polynomiales en janvier 1831. Il ouvrit aussi un cours public d’algèbre supérieure, dont une seule séance semble s’être tenue. En mai, aux ‘Vendanges de Bourgogne’, un restaurant de Belleville, au cours d’un banquet organisé pour l’acquittement d’officiers républicains accusés d’avoir disposé d’armes (dont Pescheux d’Herbinville), Galois porta un toast « à Louis-Philippe », mais avec un couteau à la main au-dessus de son verre : arrêté, il passa un mois en prison avant d’être jugé et acquitté . Galois fut de nouveau arrêté le 14 juillet 1831 pour port illégal de l’uniforme de l’artillerie ; jugé le 23 octobre, il fut condamné cette fois à six mois de prison ; enfermé à Sainte-Pélagie, il y côtoya François-Vincent Raspail qui le décrit dans ses Lettres sur les prisons de Paris, et Gérard de Nerval. D’après son ami et condisciple de l’École normale, Auguste Chevalier (1809-1868), le mémoire de 1831 aurait été soumis à la demande de Siméon Denis Poisson, mais celui-ci le refusa le 4 juillet ; le mémoire lui semblant difficile à évaluer et Galois y ayant annoncé une théorie plus vaste, Poisson suggérait d’attendre la publication de cette dernière : « il arrive que les différentes parties d’une théorie, en s’éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu’isolément ».

En prison, Évariste Galois réussit néanmoins à travailler ses mémoires sur les équations et à entamer d’autres recherches sur les fonctions elliptiques.
En mars 1832, Galois fut transféré dans une clinique privée à cause d’une épidémie de choléra. Il semble y avoir rencontré une jeune femme, qui pourrait être Stéphanie Poterin du Motel, et dont il s’éprit d’un amour apparemment malheureux11. Elle lui demanda de rompre le 14 mai. Quelques semaines plus tard, le 30 mai 1832 il affronta en duel Pescheux d’Herbinville (ou Ernest Duchâtelet). Blessé à l’abdomen, Galois fut transporté à l’hôpital Cochin et mourut le 31 mai 1832, à l’âge de 20 ans et 7 mois, probablement d’une péritonite, après avoir refusé les offices d’un prêtre. Le Précurseur de Lyon publie un compte rendu détaillé de la mort d’Evariste, apportant ces précisions : « Le pistolet étant l’arme choisie par les deux adversaires, ils ont trouvé trop dur pour leur ancienne amitié d’avoir à viser l’un sur l’autre et ils s’en sont remis à l’aveugle décision du sort. À bout portant, chacun d’eux a été armé d’un pistolet et a fait feu. Une seule de ces armes était chargée. »
La veille du duel, le 29 mai, il avait rédigé plusieurs lettres adressées à Napoléon Lebon, Vincent Delaunay (des amis républicains) et surtout à Auguste Chevalier12. Cette dernière, restée célèbre, est souvent décrite comme son testament mathématique : Galois enjoint à son ami de « prier publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes » qu’il a trouvés et dont il dresse le bilan, et de faire imprimer la lettre dans la Revue encyclopédique, ce que Chevalier fit en septembre 1832. Galois fut enterré le 2 juin 1832 au cimetière du Montparnasse à Paris en présence de deux à trois mille républicains.
Les papiers d’Évariste Galois, rassemblés par Chevalier et son jeune frère Alfred furent soumis à Joseph Liouville qui recommanda à l’Académie des sciences son principal résultat de la théorie des équations algébriques obtenu en septembre 1843. Liouville fit ensuite publier les travaux de Galois en 1846 dans son journal, le Journal de mathématiques pures et appliquées, ce qui leur conféra aussitôt un rayonnement international.
Travaux :

Liste des articles et mémoires présentés :
Démonstration d’un théorème sur les fractions continues. Annales de Gergonne, Tome XIX.
Évariste Galois publia ce premier article à l’âge de 17 ans. Dans cet article, il s’intéressa aux développements, en fractions continues, des racines d’un polynôme. La partie entière a d’un réel x est le premier terme du développement de x ; le second terme b est la partie entière de y = 1 / (x − a) ; le troisième terme est la partie entière de 1 / (y − b) ; et ainsi de suite … La suite d’entiers ainsi obtenue constitue le développement en fractions continues ; elle est définie de manière unique.
Si le développement en fractions continues d’un réel x est périodique, x se trouve alors défini par un ensemble fini d’entiers. Il était connu depuis les travaux de Joseph-Louis Lagrange que le développement en fractions continues de toute solution d’une équation polynomiale du second degré est périodique ; par exemple le développement de √3 est, après la partie entière 1, alternativement composée de 1 et de 216. Galois prouva que la période est symétrique si et seulement si le polynôme étudié s’écrit sous la forme aX2 − bX − a. De plus, si un polynôme à coefficients réels admet une racine réelle x dont le développement en fractions continues est périodique, alors ce polynôme admet une seconde racine réelle vérifiant la même propriété.
Ce premier travail s’inscrit dans une problématique plus générale : la recherche des solutions d’une équation polynomiale.
Au début du XIXe siècle, des formules exactes avaient été déterminées pour exprimer les solutions d’une équation polynomiale du second, troisième ou quatrième degré en fonction des coefficients. Se posait la question de recherche des formules générales pour des équations polynomiales de degré supérieur. Joseph-Louis Lagrange avait reformulé la question comme la résolution d’une équation polynomiale par radicaux. Il avait déjà émis l’hypothèse que certaines équations polynomiales ne pouvaient vraisemblablement pas être résolues par radicaux.
Cette suggestion était basée sur le calcul du nombre d’expressions polynomiales à n variables obtenues par permutation des variables. En 1813, Augustin Louis Cauchy s’était déjà intéressé à cette question et étudia les permutations alors appelées substitutions, travaux précurseurs de la théorie des groupes. Enfin, Abel avait établi l’impossibilité de résoudre par radicaux l’équation générale en degré supérieur à 5.
Analyse d’un mémoire sur la résolution algébrique des équations. Bulletin de Férussac, Tome XIII (1830)
Galois présente sans démonstrations trois conditions sur la résolution par radicaux d’équations polynomiales primitives. La définition d’un polynôme primitif avait été donné par Cauchy.
Note sur la résolution des équations numériques. Bulletin de Férussac, Tome XIII (1830).
Sur la théorie des nombres. Bulletin de Férussac, Tome XIII (1830).
Sur les conditions de résolution des équations par radicaux. Journal de mathématiques pures et appliquées (1846).
Ce premier mémoire portant sur la théorie des équations fut soumis en juin 1829 (avant son entrée à l’École Préparatoire). Après révision, il fut soumis en février 1830 à Fourier. Ce mémoire fut néanmoins publié en 1846 par Liouville.
Dans ce mémoire, Évariste Galois chercha à étudier la résolubilité des équations polynomiales. Il démontra que les racines d’un polynôme scindé P s’expriment rationnellement en fonction des coefficients et d’un nombre algébrique V obtenu en sommant convenablement les racines. Le polynôme minimal de V est par définition le polynôme unitaire de plus petit degré annulant V et dont les coefficients sont des expressions rationnelles en les coefficients de P. Ses racines, nécessairement distinctes, permettent de déterminer un groupe G de permutations des racines de P. La valeur d’une fonction polynomiale évaluée en les racines de P s’exprime rationnellement en fonction des coefficients de P si et seulement si cette valeur reste inchangée en faisant agir une permutation de G. En particulier, si le groupe est trivial, les racines s’expriment rationnellement en fonction des coefficients de P.
Évariste Galois en déduit que la recherche d’une résolution par radicaux passe par la réduction du groupe associé par adjonctions successives de racines. Cette idée directrice est appliquée dans ce premier aux polynômes irréductibles de degré premier.
Sur la résolution des équations polynomiales.
Ce second mémoire fut soumis en janvier 1831. D’après Auguste Chevalier, ce mémoire aurait été soumis à la demande de Siméon Denis Poisson qui le refusa le 4 juillet. Dans son court rapport17, Poisson compare d’abord les résultats de Galois à ceux d’Abel sur le même sujet, critique la nature des conditions de résolubilité des équations proposées ainsi que la rédaction du texte : « ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude ». Galois ayant annoncé une théorie plus vaste, Poisson suggère d’attendre la publication de cette dernière: « il arrive que les différentes parties d’une théorie, en s’éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu’isolément », refusant donc le mémoire soumis à l’Académie.
Style de Galois :
De son vivant, Galois reçut des critiques sur le manque de clarté de ses mémoires. Dans son court rapport, Poisson compara d’abord les résultats de Galois à ceux d’Abel sur le même sujet, critiqua la nature des conditions de résolubilité des équations proposées ainsi que la rédaction du texte : « ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude ». Les mémoires de Galois comportent en effet quelques trous.
Dans sa préface aux éditions des Œuvres complètes, Jean Dieudonné est « frappé de l’allure étrangement moderne de [la] pensée [d'Évariste Galois] ». Selon lui, « il est piquant que ses mémoires si concis soient pour nous plus clairs que les filandreux exposés que croyaient devoir en donner ses successeurs immédiats ».
Indépendance des travaux de Galois et d’Abel :

Abel et Galois ont pu souvent être comparés d’une part par la « brièveté de leur vie », d’autre part par « le genre de leur talent et l’orientation de leurs recherches ».
Les travaux d’Abel furent publiés dans le premier numéro du Journal de Crelle. Néanmoins, Galois dit ne pas avoir eu connaissance des travaux d’Abel lorsqu’il soumit ses premiers articles en 1829. Il ne put avoir connaissance de ces travaux qu’en octobre à travers la lecture des fragments publiés dans le Bulletin de Férussac. Des lettres posthumes d’Abel adressées à Legendre furent publiées en 1830.
Les travaux de Galois et d’Abel sont indépendants : Galois « n’avait eu qu’en partie connaissance » des travaux d’Abel sur les sujets qui l’intéressaient19. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux.
Légende:

Dès sa mort dramatique, Évariste Galois a été présenté comme un génie incompris, un valeureux républicain et un mathématicien ignoré de ses contemporains. Sa vie a été ensuite romancée et déformée dans de nombreuses biographies, qui ont repris ces images et en ont ajouté d’autres, comme celles d’un étudiant frustré ou d’un utopiste : « de nombreux travaux et un film ont été consacrés à l’homme lui-même qui, mélangeant fiction, romance et faits, l’ont présenté comme le prototype du héros incompris et persécuté ». Dans un registre plus fantaisiste, il est notamment un protagoniste de la série de romans Quand les dieux buvaient de Catherine Dufour.
Les historiens des mathématiques ont tenté ultérieurement de donner un nouvel éclairage à la vie d’Évariste Galois. Ses deux échecs à l’entrée de l’École polytechnique et les difficultés rencontrées à publier certains mémoires ont profondément nourri « ses sentiments de révolte contre tous les symboles du pouvoir politique ». Son exclusion officielle de l’École Préparatoire en janvier 1831 et le refus de son mémoire en juillet par Poisson (qui participa au conseil qui exclut Galois) rendit Galois « profondément dégoûté par ce qu’il considéra comme une nouvelle preuve de l’incompétence des cercles scientifiques et de leur hostilité à son égard ». Galois exprime sa colère dans certaines lettres, accusant ouvertement le directeur de l’École préparatoire d’appartenir aux « libéraux doctrinaires » et de faire preuve d’un « pédantisme ordinaire ». Le ressentiment de Galois a pu être présenté par certains auteurs comme une réelle opposition des mathématiciens de son époque à ses travaux novateurs.

La tombe d’Evariste Galois à Bourg-la-Reine
En marge de la proposition II dans le mémoire de 1830 est mentionnée la phrase « Je n’ai pas le temps ». Cette phrase a été interprétée par Auguste Chevalier comme la preuve d’une révision du mémoire effectuée par Galois la veille du duel. Il confirma cette thèse par une correction manuscrite de la proposition III, accompagnée de la date 1832. D’autres ont repris et exagéré cette interprétation. Selon Eric Temple Bell, Évariste Galois aurait rédigé ses travaux sur la résolution d’équations polynomiales par radicaux la veille de sa mort et n’aurait pas eu le temps de donner les détails de la démonstration. Mais « les élucubrations et autres broderies que Bell et ses suiveurs ont ajoutées nous en apprennent davantage sur l’image que se forme le public de Galois que sur Galois lui-même. »

Il est vrai néanmoins que les circonstances exactes du duel restent « fort obscures ». Différentes hypothèses ont été formulées : certains ont pu l’interpréter comme un duel entre rivaux, un suicide romantique, un complot de la police secrète, qui aurait organisé le duel, un règlement de compte entre révolutionnaires, voire un suicide orchestré à des fins politiques. Mais la thèse la plus probable est celle d’un « duel imbécile entre amis » (les duels étaient usuels à l’époque).
Dans sa dernière lettre, Galois mentionna : « Gardez mon souvenir, puisque le sort ne m’a pas donné assez de vie pour que la patrie sache mon nom ».

Isaac Newton

Isaac Newton (4 janvier 1643  – 31 mars 1727 , ou 25 décembre 1642 – 20 mars 1727 ) , né d’une famille de fermiers, est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et astronome anglais.

Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitation universelle et la création, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitésimal.
En optique, il a développé une théorie de la couleur basée sur l’observation selon laquelle un prisme décompose la lumière blanche en un spectre visible. Il a aussi inventé le télescope à réflexion composé d’un miroir primaire concave appelé télescope de Newton.
En mécanique, il a établi les trois lois universelles du mouvement qui sont en fait des principes à la base de la grande théorie de Newton concernant le mouvement des corps, théorie que l’on nomme aujourd’hui Mécanique newtonienne ou encore Mécanique classique.
En mathématiques, Newton partage avec Gottfried Wilhelm Leibniz la découverte du calcul infinitésimal. Il est aussi connu pour la généralisation du théorème du binôme et l’invention dite de la méthode de Newton permettant de trouver des approximations d’un zéro (ou racine) d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.
Newton a montré que le mouvement des objets sur Terre et des corps célestes sont gouvernés par les mêmes lois naturelles ; en se basant sur les lois de Kepler sur le mouvement des planètes, il développa la loi universelle de la gravitation.
Son ouvrage Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, écrit en 1686, est considéré comme une œuvre majeure dans l’histoire de la science. C’est dans celui-ci qu’il décrit la gravitation universelle, formule les trois lois du mouvement et jette les bases de la mécanique classique. Il a aussi effectué des recherches dans les domaines de la théologie, la philosophie et l’alchimie.
Biographie:

Jeunesse :

Woolsthorpe Manor, la maison natale d’Isaac Newton.
L’Angleterre n’ayant pas encore adopté le calendrier grégorien, la date de naissance d’Isaac Newton est enregistrée en date du 25 décembre 1642, au manoir de Woolsthorpe près de Grantham, dans le Lincolnshire (Angleterre), de parents paysans. Son père meurt trois mois avant sa naissance et sa mère, Hannah Ayscough se remarie quand le petit Isaac a trois ans. Il est alors placé chez sa grand-mère sous la tutelle de son oncle, son enfance semble ne pas être très heureuse. À cinq ans, il fréquente l’école primaire de Skillington, puis à douze ans celle de Grantham.
Il y reste quatre années jusqu’à ce que sa mère le rappelle à Woolsthorpe pour qu’il devienne fermier et qu’il apprenne à administrer son domaine. Pourtant, sa mère, s’apercevant que son fils était plus doué pour la mécanique que pour le bétail, l’autorisa à retourner à l’école pour peut-être pouvoir entrer un jour à l’université. À dix-sept ans, Newton tombe amoureux d’une camarade de classe, mademoiselle Storey. On l’autorise à la fréquenter et même à la fiancer, mais il doit terminer ses études avant de se marier. Finalement, le mariage ne se fit pas et Newton restera alors célibataire toute sa vie.
Théories scientifiques:

Quant à la méthode, Newton n’accepte que les relations mathématiques découvertes par l’observation rigoureuse des phénomènes. D’où sa fameuse formule :
« Je ne feins pas d’hypothèses (Hypotheses non fingo). »
Il précise :

« Tout ce qui n’est pas déduit des phénomènes, il faut l’appeler hypothèse ; et les hypothèses, qu’elles soient métaphysiques ou physiques, qu’elles concernent les qualités occultes ou qu’elles soient mécaniques, n’ont pas leur place dans la philosophie expérimentale. »

Optique:

Première édition datant de 1704 du traité Opticks sur la réflexion, la réfraction, la diffraction et la théorie des couleurs.
Au cours de 1670 à 1672, Newton étudie la réfraction de la lumière, il démontre qu’un prisme décompose la lumière blanche en un spectre de couleurs, et qu’un objectif avec un deuxième prisme recompose le spectre multicolore en lumière blanche.
C’est en 1666 qu’Isaac Newton fit ses premières expériences sur la lumière et sa décomposition16. Il fit passer des rayons de Soleil à travers un prisme produisant un Arc-en-ciel de couleurs du spectre visible. Auparavant, ce phénomène a été considéré comme si le verre du prisme, avait de la couleur cachée. Newton, analysa alors cette expérience. Comme il avait déjà réussi à reproduire le blanc avec un mini arc-en-ciel qu’il passa à travers un deuxième prisme, sa conclusion était révolutionnaire : la couleur est dans la lumière et non dans le verre. Ainsi, la lumière blanche que l’on voit est en réalité un mélange de toutes les couleurs du spectre visible par l’œil.
Il a également montré que la lumière colorée ne modifie pas ses propriétés par la séparation en faisceaux de couleurs qui font briller des objets. Newton a noté que, indépendamment de savoir si les faisceaux de lumière sont reflétés, dispersés ou transmis, ils restent toujours de même couleur (longueur d’onde). Ainsi, il fit observer que celle-ci est le résultat de l’interaction avec les objets et que la lumière contient en elle-même la couleur. C’est ce qu’on appelle la théorie de la couleur de Newton.
En 1704, il fit publier son traité Opticks17 dans lequel est exposé sa théorie corpusculaire de la lumière, l’étude de la réfraction, la diffraction de la lumière et sa théorie des couleurs. Dans celui-ci, il démontre que la lumière blanche est formée de plusieurs couleurs et déclare qu’elle est composée de particules ou de corpuscules. De plus, il ajoute que lorsque celle-ci passe par un milieu plus dense, elle est réfractée par son accélération. À un autre endroit de son traité, il explique la diffraction de la lumière en l’associant à une onde.

Réplique du télescope de 6 pouces (150 mm) qu’Isaac Newton présenta à la Royal Society en 1672.
Dans le domaine des intruments d’optique de son époque, il améliore en 1671 le télescope à réflexion de Gregory. Par son travail sur la réfraction, montrant la dispersion des couleurs, il conclut que tout télescope à réfraction ou lunette astronomique présente une dispersion de la lumière, ou aberration chromatique, qu’il pense impossible de corriger ; Il contourna le problème en proposant un télescope à réflexion par miroir concave (car naturellement dépourvu d’aberration chromatique), connu sous le nom de télescope de Newton. On sait depuis Chester Moor Hall et surtout John Dollond que l’aberration chromatique peut être compensée en utilisant plusieurs lentilles d’indices et de dispersion différents.
En broyant ses propres miroirs, il juge la qualité de l’image optique au moyen du phénomène appelé aujourd’hui anneaux de Newton. Ainsi, il a été en mesure de produire un instrument supérieur à la lunette astronomique de Galilée, en raison aussi d’un plus large diamètre permis sans altération de l’image.
Il construisit alors la première version de son télescope à réflexion composé d’un miroir primaire concave.
Dans la même année, la Royal Society l’invite à faire une démonstration de son télescope à réflexion. Cet intérêt, motive Newton à publier ses notes sur sa théorie des couleurs, qu’il a par la suite développée dans son traité d’optique. Il présenta son télescope en 1672.
Toujours dans son traité Opticks de 1704, Newton expose sa théorie de la lumière. Il la considère composée de corpuscules très subtils. La matière ordinaire est constituée de plus gros corpuscules18. Il a également construit une forme primitive de générateur électrostatique par frottement, au moyen d’un globe en verre. Newton a déclaré que la lumière est composée de particules ou de corpuscules. Que lorsqu’elle passe par un milieu plus dense, elle est réfractée par l’accélération. Il expliqua la diffraction de la lumière en associant ces particules à des ondes.
Newton a eu ses contradicteurs. Lorsque Robert Hooke s’aperçut que les travaux de Newton en optique coïncidaient avec les siens, il commença à critiquer avec virulence certaines idées de Newton. Fatigué des objections dont il faisait l’objet, Newton s’est alors retiré de tout débat public20. Les deux hommes sont demeurés ennemis le restant de leur vie.
En France, Jacques Gautier d’Agoty dans Chroa-génésie ou génération des couleurs21,22 paru en 1751 critique la théorie newtonienne de la génération des couleurs et de la raison de l’arc-en-ciel. Jean-Jacques Rousseau soutiendra la théorie de Newton.
Mécanique :
Statue d’Isaac Newton à Trinity College, Cambridge.
En 1677, Newton reprit ses travaux sur la mécanique. C’est-à-dire la gravitation et ses effets sur les orbites des planètes, selon les références des lois de Kepler du mouvement des planètes ; et aussi en consultant Robert Hooke et John Flamsteed à ce sujet24. En novembre 1684, il fit parvenir à Halley un petit traité de neuf pages avec le titre : De motu corporum in gyrum ( Mouvement des corps en rotation), montrant la loi en carré inverse, la force centripète, il contient les prémices des lois du mouvement de Newton que nous retrouvons dans son œuvre majeure Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (aujourd’hui connue sous le nom de Principia ou Principia Mathematica) qui a été publiée le 5 juillet 1687 grâce à l’aide financière et l’encouragement venant d’Edmond Halley. Les méthodes de calcul qu’il y utilise en font un précurseur du calcul vectoriel.
Dans son travail Newton établit les trois lois universelles du mouvement qui sont restées inchangées, ceci sans aucune amélioration durant plus de deux siècles. Il se servait, du mot poids en latin gravitas, pour parler des effets de ce que nous appelons maintenant la gravité et il définit les lois de la gravitation universelle. Dans le même ouvrage il présenta la première analyse des déterminations basée sur la vitesse du son dans l’air des lois d’Edmond Halley et de Robert Boyle.
Avec les Principia, Newton est reconnu internationalement. Il se forma un cercle d’admirateurs, y compris le mathématicien Nicolas Fatio de Duillier d’origine suisse, avec qui il a bâti une relation intense qui a duré jusqu’en 1693.
Son ouvrage majeur, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, fut publié en 1687. La version française en deux volumes avec une traduction Tome I et Tome II de la marquise du Châtelet fut éditée en 1756.
Cette œuvre marque un tournant pour la physique. Il y avance le principe d’inertie, la proportionnalité des forces et des accélérations, l’égalité de l’action et de la réaction, les lois des collisions, il montre le mouvement des fluides ; et surtout la théorie de l’attraction universelle.

Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Isaac Newton est avant tout le père de la mécanique moderne grâce aux trois lois du mouvement qui portent son nom et dont on donne ci-après les énoncés tels qu’ils sont enseignés de nos jours :
Principe d’inertie
Principe fondamental de la dynamique
Principe des actions réciproques
On appelle parfois cette dernière loi la loi d’action réaction mais ce vocabulaire est susceptible de prêter à confusion (voir principe des actions réciproques).
Dans le langage courant, la Mécanique est le domaine de tout ce qui produit ou transmet un mouvement, une force, une déformation : machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, etc.).
On parle ainsi de mécanique générale, de génie mécanique, de mécanique automobile, de sports mécaniques, de mécanique navale, de mécanique céleste, de mécanique quantique, de résistance mécanique des matériaux, etc.
Aujourd’hui ses trois lois du mouvement, mises à mal par le développement de la thermodynamique au xixe siècle, sont dépassées par la mécanique relativiste d’Einstein et le principe de la dualité onde-corpuscule. Cependant le génie de la mécanique de Newton était de simplifier beaucoup, ce qui contribua au développement des recherches dans le domaine de la mécanique classique, où la masse s’identifie à la matière et où l’on suppose une continuité parfaite.
Mathématiques:

Isaac Newton (Bolton, Sarah K. Hommes célèbres de la science. New York: Thomas Y. Crowell & Co., 1889).
En plus de ses contributions à la physique, Newton, parallèlement à Gottfried Wilhelm Leibniz, élabora les principes fondateurs du calcul infinitésimal. Alors que Newton ne fit rien éditer sur sa méthode des infiniment petits ou des fluxions et les suites infinies avant 1687, Leibniz publia ses travaux en 1684. Si le problème de priorité de l’invention s’est posé, Newton dans son œuvre des Principia publiée en 1687 rend hommage à la découverte de Leibniz en reconnaissant qu’il était parvenu aux mêmes résultats que lui par une méthode analogue à la sienne. Malgré cela des membres de la Royal Society (dont Newton était membre) ont accusé Leibniz de plagiat finissant par créer un différend en 1711. C’est ainsi que la Royal Society proclama dans une étude que Newton était le vrai découvreur de la méthode et Leibniz un imposteur. Ceci a entaché aussi bien la vie de Newton que celle de Leibniz jusqu’à sa mort survenue en 1716.
Newton a entretenu une relation très étroite avec le géomètre Nicolas Fatio de Duillier qui a été impressionné par sa théorie de la gravitation. En 1691, celui-ci prépara une nouvelle version de l’ouvrage Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica mais il ne l’acheva pas. Toutefois, en 1694 la relation entre les deux hommes se refroidit. À partir de ce moment, Duillier provoqua une querelle sur la paternité de la découverte du calcul infinitésimal et entretint une correspondance avec Leibniz. Cependant dans un mémoire publié en 1699, Duriez désigna Newton comme le premier inventeur de la méthode des infiniment petits30.
Newton est également connu pour sa formule du binôme valable pour toutes les puissances en mathématiques. Il a découvert aussi les identités de Newton, la méthode de Newton et les courbes cubiques planes (polynômes de degré trois à deux variables).
Il est le premier à avoir utilisé des indices fractionnaires en géométrie analytique pour résoudre les équations diophantiennes. Il a aussi estimé les sommes partielles de séries harmoniques en utilisant des logarithmes (un précurseur de la célèbre formule d’Euler) et trouvé une formule pour calculer le nombre pi (π). II a été élu professeur lucasien de mathématiques de l’université de Cambridge en 1669.
La loi universelle de la gravitation :

2 orbites et 2 éclipses
Outre la mise au point du fonctionnement du premier télescope à réflexion composé d’un miroir primaire concave, Newton découvrit la loi universelle de la gravitation ou de l’attraction universelle en tant que cause des mouvements des planètes. En 1684, Newton informa par une lettre adressée à son ami Edmond Halley qu’il a résolu le problème de la force inversement proportionnelle au carré des distances et celui des orbites elliptiques introduit par Kepler.
En 1685, il rédigea son opuscule De motu corporum in gyrum (sur le mouvement) dans lequel il décrit sa loi, unifiant ainsi la mécanique terrestre et la mécanique céleste. Il exprime cette loi de manière simplifiée par l’expression mathématique suivante :

où est le vecteur unitaire indiquant la direction du mouvement, la force et G une constante de proportionnalité ou la constante gravitationnelle. Par sa formule résultante des trois lois de Kepler, il expliqua et démontra les mouvements des planètes autour de leur orbite.
Cependant, la gravitation n’est pas seulement une force exercée par le Soleil sur les planètes, selon la loi de la gravitation de Newton, tous les objets du cosmos s’attirent mutuellement. Ainsi, Newton s’est rendu compte que les mouvements des corps célestes ne pouvaient être constants ouvrant ainsi la voie à la mécanique relativiste et à l’élaboration du principe de relativité par Albert Einstein. Newton a déclaré que les planètes ne repassent pas deux fois dans la même orbite.
La mécanique céleste qui repose sur les trois lois de Kepler et la loi universelle de la gravitation de Newton suffit, encore aujourd’hui, à expliquer par le calcul les mouvements des astres dans un univers local, tel le système solaire.
Newton hors le cadre des sciences naturelles stricto sensu

Newton et la religion:

Newton fut profondément religieux toute sa vie. Fils de puritains il a passé plus de temps à l’étude de la bible que de la science. Une étude de tout ce qu’il a écrit révèle que sur les 3.600.000 mots qu’il a écrit, seuls 1.000. 000 concerne la science et 1.400.000 la théologie32. Il a notamment produit des écrits sur la Bible et les Pères de l’Église dont un An Historical Account of Two Notable Corruptions of Scripture une critique textuelle des Saintes Écritures qui a été remarqué. À Cambridge, John Locke à qui il avait parlé de ses écrits théologiques, l’engagea à persévérer.
Il croyait en un monde immanent, mais rejeta l’hylozoïsme implicite de Leibniz et Spinoza.

Il voit une évidence du dessein divin dans le système solaire : « L’admirable uniformité du système planétaire force à y reconnaître les effets d’un choix ». Il insistait cependant sur le fait qu’une intervention divine serait requise pour « réparer » le système en raison de la lente croissance de son instabilité.
Selon un avis contesté par Snobelen, T. C. Pfizenmaier soutient que la vision de Newton sur la Trinité était plus proche de celle de l’Église orthodoxe que de celle des catholiques romains, des anglicans et de la plupart des protestants.
L’historien Stephen D. Snobelen dit « [qu'] Isaac Newton était un hérétique. Cependant … il ne fit jamais de déclaration publique sur sa propre foi ; que les orthodoxes auraient considéré comme extrêmement radicale. Il cacha si bien sa foi que les chercheurs n’ont toujours pas réussi à élucider ses propres croyances. ».

Snobelen conclut que Newton était au moins sympathisant du socinianisme (il possédait et avait lu consciencieusement au moins huit ouvrages sociniens), probablement un arien et surtout un antitrinitarien; trois formes ancestrales de ce que l’on nomme aujourd’hui l’unitarisme. À une époque notoire pour son intolérance religieuse, il existe peu de traces de l’expression publique des vues radicales de Newton, les plus notables sont ses refus de l’ordination et, sur son lit de mort, celui du dernier sacrement.
D’un certain point de vue, l’important est plutôt de comprendre en quoi sa perception de Dieu a une influence sur ses interrogations métaphysiques et sur la façon d’interpréter ses travaux scientifiques. De ce point de vue, bien que la loi universelle de la gravitation soit sa découverte la plus connue, Newton met en garde ceux qui verraient l’Univers comme une simple machine. Il affirme : « La gravité explique le mouvement des planètes, mais elle ne peut expliquer ce qui les mit en mouvement. Dieu gouverne toutes choses et sait tout ce qui est ou tout ce qui peut être. ».
Newton et Leibniz :

Gottfried Wilhelm von Leibniz
La controverse qui a opposé ces deux grands esprits au tout début du xviiie siècle, a porté principalement sur deux points. L’un assez secondaire concernait leur commune revendication de la découverte du calcul infinitésimal, l’autre point beaucoup plus important avait trait aux raisons profondes de leur opposition sur la théorie de la gravitation. Si, pour Gottfried Wilhelm von Leibniz, le mouvement des planètes autour du Soleil est dû à la circulation harmonique d’un éther fluide autour du Soleil qui emporterait les étoiles, c’est à cause de sa conception du monde. En effet, sa métaphysique lui interdit de concevoir un espace vide, car ce serait « attribuer à Dieu une production très imparfaite ».

Les cartésiens sur ce point étaient proches de Leibniz de sorte que Roger Cotes durant la controverse désignera cartésiens et leibniziens sous le terme de « plénistes ». Bien qu’étant un des premiers partisans de René Descartes en Angleterre, Henry More un philosophe de l’école dite des Platoniciens de Cambridge sera un des premiers à s’opposer à cette conception en affirmant « l’existence effective de l’espace vide infini ».

D’une certaine manière il ouvre une voie que suivra en partie Newton ultérieurement.
La controverse sera menée avec l’aval de Newton par certains de ses proches tels que Samuel Clarke et Roger Cotes. Elle visait Leibniz et les cartésiens mais ces derniers n’y répondirent pas. Elle a porté sur la conception de Dieu et de façon adjacente sur la notion de liberté et de rationalité. Le sens de cette controverse est important à saisir car pour Alexandre Koyré la victoire de Newton fut une victoire à la Pyrrhus remportée à un prix désastreux « C’est ainsi que la force d’attraction – qui, pour Newton, était la preuve de l’insuffisance du mécanisme pur et simple, une démonstration de l’existence des forces supérieures, non mécaniques, la manifestation de la présence et de l’action de Dieu dans le monde – cessa de jouer ce rôle pour devenir une force purement naturelle, propriété de la matière qui ne faisait qu’enrichir le mécanisme au lieu de le supplanter ».
Concernant la conception de Dieu pour Alexandre Koyré « l’opposition fondamentale est cependant parfaitement claire : le Dieu de Leibniz n’est pas le Seigneur newtonien, qui fait le monde comme il l’entend et continue à agir sur lui comme le Dieu de la Bible l’avait fait pendant les six premiers jours de la Création. Il est, si j’ose poursuivre la comparaison, le Dieu biblique au jour du Sabbat le Dieu qui a achevé son œuvre et trouve qu’elle représente …le meilleur des mondes possibles… ».

À l’inverse de Leibniz, comme l’écrira Samuel Clarke, pour Newton le Monde est réformable et s’il a découvert les lois de l’attraction universelle il n’a trouvé aucune nécessité à ce que ces lois fussent telles qu’elles sont. Il a simplement constaté leur existence.
Cette recherche de lois nécessaires par les leibniziens nie pour Samuel Clarke la liberté des agents. Aussi dans sa quatrième réponse à Leibniz, il écrira : « La Doctrine que l’on trouve ici, conduit à la Nécessité & à la Fatalité, en supposant que les Motifs ont le même rapport à la volonté d’un Agent intelligent que les Poids à une Balance…. Mais les Êtres intelligents sont des Agents ; ils ne sont point simplement passifs & les Motifs n’agissent pas sur eux, comme les Poids agissent sur une Balance. Ils ont des forces actives… ».
Chez Leibniz et chez certains cartésiens français comme Nicolas

Malebranche, il y a l’idée que par sa raison l’homme « peut trouver avec évidence ce que Dieu pouvait faire de mieux ».

Au contraire chez Newton et les newtoniens, la raison tend à chercher à observer les faits, à les expliquer mais il y a une certaine volonté à ne pas se laisser entraîner vers des explications totales. Newton écrit dans les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica « J’ai expliqué jusqu’ici les phénomènes célestes & ceux de la mer par la force de la gravitation, mais je n’ai assigné nulle part la cause de cette gravitation ».

Influence de Newton sur les autres sciences au XVIII° siècle:

Pour Georges Gusdorf, « l’imitation de Newton devient l’ambition secrète de tous les savants, quelle que soit leur science. Le système de Newton de l’intelligibilité est admis comme le prototype de toute connaissance parvenue à un état d’achèvement définitif ».
Pour Dellemotte, chez Adam Smith, dans la Théorie des sentiments moraux, la sympathie occupe dans le domaine moral la même fonction que le principe de gravitation. Rappelons qu’Adam Smith, est un admirateur de Newton et qu’il a rédigé une Histoire de l’astronomie d’un grande importance pour comprendre le cadre de sa pensée. Pour Élie Halévy, l’utilitarisme de Jeremy Bentham peut se définir comme « un newtonianisme, où si l’on veut, un essai de newtonianisme appliqué aux choses de la politique et de la morale » où le principe de l’association et celui de l’utilité tiennent le rôle du principe de l’attraction universelle chez Newton
D’Alembert dans le Discours préliminaire à l’Encyclopédie loue Newton, d’avoir appris à la philosophie ( à l’époque ce mot désigne aussi la science) « à être sage, et à contenir dans de justes bornes cette espèce d’audace que les circonstances avaient forcé Descartes à lui donner ».

Cette approche marque l’Encyclopédie qui doit accepter que la connaissance soit lacunaire et que l’esprit ne puisse pas tout ordonner mesure et ranger

. Si D’Alembert a entendu parler des travaux métaphysiques de Newton, il les tient peu important et, pour lui le Newton de la métaphysique c’est John Locke dont il dit « on peut dire qu’il créa la métaphysique à peu prés comme Newton avait crée la physique ». En France la réception de la théorie de la gravitation de Newton en France sera lente, car elle mettra du temps à supplanter la théorie de René Descartes basée sur les tourbillons, elle finit de s’imposer avec la parution de l’Encyclopédie.
Newton et l’alchimie :

Synthèse entre le mécanisme et l’alchimie:

Newton, par William Blake. Sur cette toile, Newton est montré comme un géomètre divin.
Newton s’initie à la chimie en 1666 par la lecture du livre de Robert Boyle Of Formes, dont il tire un glossaire chimique55. Il commence à étudier de façon très intensive l’alchimie en 1668 ou 1669 et poursuit ses recherches pendant au moins trente ans, jusqu’en 1696. Ses premières tentatives de publication de travaux (concernant l’optique) se soldant par des controverses épuisantes (avec Hooke notamment), Newton se réfugie dans le mutisme au moment où il plonge dans les recherches alchimiques. En outre, Newton fera certainement partie d’un réseau secret d’alchimistes probablement constitué à partir du cercle Hartlib de Londres58. Il se choisit également le pseudonyme alchimique Ieoua Sanctus Unus qui signifie en français : « Jéhovah Unique Saint », mais qui est aussi une anagramme d’Isaac Neuutonus.

Durant plus de 25 ans, Newton conservera le secret sur ses activités et surtout sur ses contacts, desquels il reçoit de très nombreux ouvrages et traités alchimiques, qu’il annote et recopie jusqu’à se constituer une des plus vastes bibliothèques alchimiques de son époque.
Une grande partie de ses écrits de tradition alchimiste, non publiés, seront oubliés ou mal interprétés : lorsqu’en 1872 un descendant de sa sœur fait don à l’université de Cambridge des écrits et livres conservés par sa famille, le bibliothécaire renvoie à celle-ci une malle contenant les écrits « n’étant pas de nature scientifique » dont une grande partie de ses travaux alchimiques.
L’absence, jusqu’en 1936, d’étude d’une grande partie de ses manuscrits alchimiques, l’énorme influence de Newton sur le monde scientifique ainsi qu’un mouvement de rejet de l’alchimie né au cours du XVIIIe siècle amènent une grande partie de ses premiers biographes à différents types d’approches. Par exemple, David Brewster, auteur de la première biographie scientifique de référence, tente de séparer l’alchimie pratiquée par Newton de celle qu’il considère comme une supercherie tout en ne comprenant pas qu’un tel génie ait pu s’abaisser à cette pratique; Louis Trenchard More considère lui que les travaux alchimiques de Newton n’étaient qu’une façon de « se délasser l’esprit », qu’ils auraient pu être gouvernés par l’appât du gain ou encore qu’ils étaient le symptôme d’une tension mystique sans rapport avec le reste de son œuvre scientifique. L’alchimie à laquelle Newton se forme et qu’il pratique durant de nombreuses années est ainsi une facette souvent méconnue de son œuvre.
Pour Keynes, qui réunira la plupart de ces écrits dispersés lors d’une vente aux enchères en 1936, « Newton n’est pas le premier de l’âge de la Raison. Il est le dernier des Babyloniens et des Sumériens, le dernier grand esprit qui a contemplé le monde visible et intellectuel avec les mêmes yeux que ceux qui ont commencé à construire notre héritage intellectuel il y a quelque 10 000 ans. ».

Ce n’est qu’après la redécouverte de ces manuscrits que ses biographes replaceront ses travaux alchimiques dans l’ensemble de son œuvre scientifique.
Au XVIIe siècle, l’alchimie a une réputation ambiguë. Souvent considérée populairement comme faisant partie du domaine des charlatans à cause de la quête de la transformation des métaux en or, l’alchimie est cependant continûment pratiquée et étudiée durant tout le XVIIe siècle par de nombreux philosophes de la nature parce qu’elle propose une vision d’ensemble cohérente pour la totalité des phénomènes naturels. En ce sens elle rejoint la philosophie mécaniste dans sa volonté d’une description universelle de la Nature.
« La transformation des corps en lumière et de la lumière en corps est très conforme au cours de la nature, qui semble se complaire aux transmutations ».
En revanche les deux philosophies sont séparées de façon fondamentale sur un point : pour les mécanistes la matière est inerte, composée de particules caractérisées par leur forme et dont le mouvement est régi uniquement par les lois simples du choc ou de la pression ; pour les alchimistes la matière n’est que le véhicule de principes actifs qui régissent le monde selon des lois d’attraction et de répulsion, de copulation de principes mâle et femelle, et dont l’esprit est partie prenante.
« Concevons les particules des métaux [...] comme douées d’une double force. La première est une force d’attraction et est plus forte, mais elle décroît rapidement avec la distance. La seconde est une force de répulsion qui décroît plus lentement, et, pour cette raison, s’étend plus loin dans l’espace. ».
Néanmoins, pour les philosophes de l’époque de Newton, la séparation des deux philosophies n’est pas forcément évidente, et elles peuvent même être conçues comme complémentaires. Richard Westfall avance que ce sont peut-être les possibilités de description universelle offertes par le mécanisme et l’alchimie qui ont poussé Newton à ne se fermer aucune des deux voies de travail. L’intérêt de Newton pour l’alchimie résiderait dans une « rébellion » contre les limites restrictives imposées par la philosophie mécaniste ainsi que par la volonté de dépasser le mécanisme de René Descartes.
Dans un ouvrage intitulé De la gravitation et de l’équilibre des fluides (daté au plus tôt de 1668) il reproche notamment à Descartes un « athéisme » découlant de la stricte séparation du corps et de l’âme et de la supposition selon laquelle le monde matériel mécaniste n’a pas de dépendance envers Dieu73. Pour B.J.T. Dobbs, une première période d’études alchimiques, qui s’achève en 1675, et toute la suite de ses recherches scientifiques visent à intégrer la mécanique et l’alchimie en une synthèse réconciliant la vision corpusculaire et neutre de la matière d’une part et les interactions à distance (ou « affinités ») d’autre part, ce qu’il réalisera in fine grâce à l’introduction du concept de force74. Le concept de force, et notamment de la force d’attraction gravitationnelle, bien qu’actuellement considéré comme le fondement même de la mécanique était en effet considéré à l’époque par les mécanistes comme une résurgence de l’occultisme et provoqua de vives réactions comme celle de Christiaan Huygens qui écrit en 1687 quelques jours après la sortie des Principia : « Je souhaite de voir le livre de Newton. Je veux bien qu’il ne soit pas Cartésien pourvu qu’il ne nous fasse pas des suppositions comme celle de l’attraction. ».

Mathematicien

Pierre de fermat :

Pierre de Fermat, né dans la première décennie du xviie siècle, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres , est un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ». Il est en même temps un habile helléniste. Il s’est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le Principe de Fermat en optique.
Origines familiales :
Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé de Beaumont, doué en calcul. Ce bourgeois et second consul de la ville est connu comme marchand de cuir (et autres denrées) ; il s’est marié successivement à Françoise Cazeneuve , fille d’un marchand aisé (et ce jusqu’en 1603 au moins), puis à Claire de Long, fille du seigneur Clément de Long de Barrès (et ce avant 1607). On ne sait cependant laquelle de ces deux femmes fut la mère du mathématicien.

Plusieurs actes témoignent de la naissance d’un enfant Fermat du nom de Pierre, l’un baptisé le 31 octobre 1605, l’autre durant l’année 1608

La maison où est né le mathématicien, et qui abrite de nos jours l’office de tourisme, est une maison familiale sur laquelle il n’y a pas de doute car elle fut occupée, de 1577 à 1707, par quatre générations de Fermat. Pour autant, on ne sait pas davantage où Pierre de Fermat a effectué ses études primaires. Par la suite, il fait des études à Toulouse et de droit à Orléans.

Contributions :

Il partage avec Viète, dont il use des notations, et Descartes, avec qui il fut en conflit, la gloire d’avoir appliqué l’algèbre à la géométrie.
D’Alembert voyait dans ses travaux la première application du calcul infinitésimal, jugement que partagèrent Arbogast, Lagrange et Laplace.

Il imagina, en effet, pour déterminer les tangentes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel et le premier à utiliser des formules de dérivation (le concept de nombre dérivé remonterait au premier des grands mathématiciens indiens, l’astronome Aryabhata).
Fermat pose en même temps que Blaise Pascal les bases du calcul des probabilités. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la « théorie moderne des nombres ».
Il est très connu pour deux « théorèmes » :
le « petit théorème de Fermat » ;
le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n’était qu’une conjecture et l’est resté durant plus de trois siècles de recherches fiévreuses.
Petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors .
Voir aussi : Théorème d’Euler, dont ce théorème est un cas particulier.
Leibniz a rédigé en 1683 une démonstration qu’il ne publie pas. Léonard Euler a démontré le théorème en 1736 par les mêmes arguments.

Il communique cette preuve le 2 août 1736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg et publie cette première démonstration en 1741. Elle repose sur une récurrence et l’utilisation du développement du binôme.
Fermat n’a pas fourni sa démonstration ; le 18 octobre 164017, il écrit à Frénicle de Bessy :
« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné – … Il ajoute : Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n’appréhendois d’être trop long »

On peut être assuré que Fermat tenait effectivement une preuve, car plus loin, à propos des nombres « premiers » qui portent son nom, il ajoute :
« Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m’attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n’ai pu encore démontrer… cette belle proposition que je vous ai envoyée… Si vous en aviez la preuve assurée, vous m’obligeriez de me la communiquer car, après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières. »

Les méthodes de Fermat ont évolué avec le temps et il paraît difficile de reconstruire ce qu’a pu être son raisonnement.
Théorème des deux carrés de Fermat:

Ce théorème énonce qu’un nombre premier impair est la somme de deux carrés si, et seulement si, il est congru à 1 modulo 4.
Afin d’en fournir la preuve, Fermat a mis au point la méthode, de la descente infinie. On ne sait pas s’il possédait vraiment une démonstration de son théorème.

Il déclare à Carcavi en août 1659 :
« Lorsqu’il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l’unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l’aide de quelques nouveaux principes qu’il y fallut joindre par nécessité. »

Toutefois il a laissé l’indication qui suit :
« Si un nombre premier pris à discrétion, qui surpasse de l’unité un multiple de 4, n’est point composé de deux quarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l’infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s’ensuivroit n’être pas composé de deux quarrés, ce qu’il est pourtant. D’où on doit inférer, par la déduction à l’impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés. »
dont l’idée forte permettra à Euler de donner une preuve complète de ce thèorème.
Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux:

Buste dans la salle des Illustres du Capitole de Toulouse
Tout entier s’écrit :
comme somme d’au plus 3 nombres triangulaires
comme somme d’au plus 4 nombres carrés
comme somme d’au plus 5 nombres pentagonaux
etc.
nombres triangulaires :
: le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
nombres carrés :
: le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
nombres pentagonaux :
: le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
nombres polygonaux d’ordre m :
: le n-ième nombre polygonal d’ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo (m-2).
Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au xviiie siècle (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.
Grand théorème de Fermat (ou dernier théorème de Fermat) :
Travail de Diophante d’Alexandrie traduit du grec en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac. Cette édition du livre a été publiée en 1621. La page 85 contient le problème II.VIII de Diophante, et est la page sur laquelle Pierre de Fermat écrivit que la marge était trop petite pour contenir la démonstration.
« Il n’existe pas d’ensemble d’entiers strictement positifs , , vérifiant l’équation lorsque n est un entier tel que . »

Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l’Université de Princeton, avec l’aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d’une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics. Une bonne centaine de mathématiciens dans le monde est capable de saisir tous les détails de cette démonstration22.
Pierre de Fermat lui-même annotait dans la marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit:
« J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

La démonstration évoquée par Pierre de Fermat, inconnue à ce jour, était à n’en pas douter, une illusion. La démonstration réalisée par Andrew Wiles (dont le dernier théorème ne Fermat n’est qu’un Corollaire) utilise des outils mathématiques d’une complexité dont on ne semble guère pouvoir se passer et que Fermat ne pouvait pas même soupçonner, compte tenu des connaissances de son époque.
Les cas des exposants n = 3,4 puis 5 et 7 ont été traités respectivement par Euler23, Legendre et Cauchy .
Vers 1800, Gabriel Lamé prétendit avoir trouvé la solution de ce problème. Il ne fut que le premier d’une liste de mathématiciens amateurs tentés par ce difficile problème.
En 1857, Ernst Kummer] franchit un pas décisif en démontrant le dernier théeorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100 .
En 1908, l’Université de Göttingen et la fondation Wolfskehl offrirent un prix de 100 000 marks à qui trouverait la démonstration avant cent ans.
En 1961, La relation n’était prouvée que pour les entiers n < 269. Les progrès fulgurants de ces trente derniers années sont liés à des travaux de Jean-Pierre Serre24d’Yves Hellegouarch25 et de Robert Langlands26 sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires, Méthode de la descente infinie [modifier] Fermat est l’inventeur d’une méthode de démonstration, la descente infinie : Supposons qu’une proposition P dépendant d’un rang n (> 0) vérifie la propriété : « Si P est vraie à un rang quelconque r, elle l’est à un certain autre rang q strictement inférieur à r ». Alors on peut conclure que P est fausse pour tout rang. En effet, pour tout r, l’application récurrente de la propriété permet de construire une chaîne infinie de rangs décroissants r > q >…>… Or les rangs étant positifs, la longueur de la chaîne ne peut pas être supérieure à r.
La descente infinie peut être utilisée pour démontrer le cas particulier n = 4 du dernier théorème de Fermat.
Principe de Fermat (optique) :
Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui optimise le temps de parcours.
Fermat dans la culture populaire

La fête à Fermat :
Tous les ans, depuis 200327, la ville de Beaumont de Lomagne (82) organise sous le patronage d’Ahmed Djebbar, une fête populaire en l’honneur du mathématicien. Des conférences mathématiques, des ateliers, des expositions, des animations et des spectacles. La ville consacre par ailleurs une partie de son site à son homme de génie
Le lycée Pierre de Fermat :
Situé Parvis des Jacobins à Toulouse, Fermat fut fondé en 1806. Il a pris le nom du mathématicien en 1957, sur proposition du maire de Toulouse Raymond Badiou. Il y compta un temps pour professeur Georges Canguilhem et Jean-Pierre Vernant.
Cinéma :
Dans le film espagnol de Luis Piedrahita et Rodrigo Sopeña La habitación de Fermat (La chambre ou La cellule de Fermat, cinq mathématiciens se retrouvent sur l’invitation anonyme d’un certain « Fermat » (Federico Luppi). Affublés de noms de mathématiciens célèbres, leurs pseudonymes pour la soirée, l’hôte leur soumet une des dernières énigmes scientifiques de notre temps. Hilbert est un vieux chercheur, Pascal un ingénieur obnubilé par les applications commerciales ; Galois et Oliva sont deux jeunes génies… Arrivés dans leurs chambres, les mathématiciens comprennent qu’ils sont piégés. Ce thriller mathématique aux effets garantis n’entretient cependant qu’un lointain rapport avec le mathématicien de Beaumont et la Conjecture de Goldbach.

Le contre exemple des Simpsons
Un contre exemple au grand théorème de Fermat, se trouve illustré par un montage mettant en scène Homer Simpson28 où apparaît l’égalité : 178212 + 184112 = 192212
Millenium
Dans le deuxième tome de Millenium La fille qui rêvait d’un bidon d’essence et d’une allumette, de Stieg Larsson (1954-2004), Lisbeth dénoue le théorème de Fermat en trois semaines.
Le Théorème du Perroquet :

Ce livre de Denis Guedj publié en 1988, traite par la fiction, du dernier théorème de Fermat et de l’histoire des mathématiques. On y lit un hommage a la méthode des minimas, si injustement décriée par Descartes :
« Avec soixante ans de retard, M. Ruche comprit ce que plus de trois siècles plus tôt Fermat avait compris : un arc infiniment petit d’une courbe peut être assimilé au segment correspondant de la touchante.  »