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03-09-2010 |

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Le produit scalaire

I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient $\white \vec{u}$ et $\white \vec{v}$ deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que
$\white \vec{u}=\vec{OA}$ et $\white \vec{v}=\vec{OB}$ .

• Si $\white \vec{u}$ et $\white \vec{v}$ sont de même sens : $\white \vec{u}.\vec{v}=OA\times OB$ .

• Si $\white \vec{u}$ et $\white \vec{u}$ sont de sens contraires : $\white \vec{u}.\vec{v}=OA\times OB$ .

• Si $\white \vec{u}=\vec{0}$ ou $\white \vec{v}=\vec{0}$ alors $\white \vec{u}.\vec{v}=0$ .

• $\white \vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||$ est le carré scalaire du vecteur $\white \vec{u}$

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2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient $\white \vec{u}$ et $\white \vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que
$\white \vec{u}=\vec{OA}$ et $\white \vec{v}=\vec{OB}$ .

Alors :

$\white \fbox{\vec{u}.\vec{v}=OA'\times OB=OA\times OB'}$ .

A' et B' sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

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3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x';y') les coordonnées respectives des vecteurs $\white \vec{u}$ et $\white \vec{v}$ dans un repere orthonormé quelconque.

$\white \fbox{\vec{u}.\vec{v}\,=\,x.x'+y.y'}$ .

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que $\white \vec{u}$ et $\white \vec{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :
• Soit $\white \vec{u}=\vec{0}$ ou $\white \vec{v}=\vec{0}$ ;
• Soit (OA) $\white\perp$ (OB), avec $\white \vec{u}=\vec{OA}$ et $\white \vec{v}=\vec{OB}$ non nuls.

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2. Propriété :

Propriété :

$\white \fbox{\vec{u}\perp\vec{v}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vec{u}.\vec{v}=0}$ .

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés :

Soient $\white\,\vec{u}\,,\,\vec{v},\,\vec{w}$ trois vecteurs et k un nombre réel.

• $\white\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (symétrie).

• $\white (k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v})$ (linéarité)

• $\white(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ (linéarité)

• $\white\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ (linéarité)

• $\white(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identite remarquable)

• $\white(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identite remarquable)

• $\white(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$ (identite remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit $\white \vec{u}$ et $\white \vec{v}$ non nuls.

$\white \vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})$

2. Théorème d'Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
On a :

• $\white a^2\,=\,b^2+c^2-2bc\times cosA$

• $\white b^2\,=\,a^2+c^2-2ac\times cosB$

• $\white c^2\,=\,a^2+b^2-2ab\times cosC$

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3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .
Pour tout point M, :

$\white\fbox{ MA^2\,+MB^2\,=\,2MI^2\,+\,\frac{AB^2}{2}}$

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