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03-09-2010 | 
Arithmetique
I. Divisibilite :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b
on note alors b/a .
Exemple :
donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.
II. Propriétés :
Soient .
III. Définition :
Un entier est dit premier s'il n'admet dans
aucun autre diviseur que lui-meme et 1 .
Ensemble des nombres premiers
L'ensemble des nombres premiers, noté est un ensemble infini.
.
IV. Theoreme fondamental de l'arithmetique :
1. Décomposition en facteurs premiers :
Soit .
L'entier n se decompose de maniere unique, à l'ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.
.
Exemple :
2. Division euclidienne :
Soient a et b deux entiers relatifs tels que
alors :
Il existe un unique couple d'entiers (q,r) tel que :
Remarque :
Que l'on soit dans ou
, le reste r est toujours positif ou nul.
3. Congruences :
On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s'ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Si c'est le cas, on note .
Exemple :
18=5x3+3 et 27=8x3+3.
18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3
donc
4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :
a. Definition du pgcd(a,b)
Soient a et b deux entiers relatifs.
L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).
On note aussi a^b.
b. Proprietes du pgcd(a,b)
Soit k un entier non nul.
Si k divise a et b alors :
Remarque :
On peut determiner le pgcd(a,b) de trois manieres :
• par décomposition des deux nombres ;
• par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul etant le pgcd(a,b) (theoreme d'Euclide);
• par le théorème de Bezout (voir plus loin....)
c. Definition du ppcm(a,b)
Soient a et b deux entiers relatifs.
L'ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit element nommé le ppcm(a,b).
On note aussi : a v b .
Soient
V. Theoreme de Bezout :
Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :
Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .
VI. Theoreme de Gauss:
Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c
Exemple :
5 divise 70=7x10
or 5 est premier avec 7
donc d'après le theoreme de Gauss 5 divise 10.
