Programme de troisieme :

ACTIVITES NUMERIQUES :


CONTENU
COMPÉTENCES EXIGIBLES
COMMENTAIRES
1. Écritures littérales ; identités remarquables Factoriser des expressions telles que :
(x + 1)(x + 2) - 5 (x + 2) ; (2x + 1)2 + (2x + 1)(x + 3).
Connaître les égalités :
(a + b)(a - b) = a² - b² ;
(a + b)² = a² + 2ab + b²
; (a - b)² = a² -2ab + b²
et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales simples telles que :
101² = (100 + 1)² = 100² + 200 + 1 ;
(x + 5)² - 4 = (x + 5)² - 2² = (x + 5 + 2)(x + 5 - 2)		 La reconnaissance de la forme d'une expression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travaux s'articuleront sur deux axes :

- utilisation d'expressions littérales pour des calculs numériques ;
- utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes.
Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d'expressions simples; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l'autonomie des élèves que dans des situations très simples.

On consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 10.
2. Calculs élémentaires sur les radicaux (racines carrées)
Racine carrée d'un nombre positif
Produit et quotient de deux radicaux		 Savoir que, si a désigne un nombre positif, est le nombre positif dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités :
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x2 = a, où a désigne un nombre positif.
Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
 La touche de la calculatrice, qui a déjà été utilisée en classe de 4e, fournit une valeur approchée d'une racine carrée.
Le travail mentionné sur les identités remarquables permet d'écrire des égalités comme :
Ces résultats, que l'on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d'un nombre positif, permettent d'écrire des égalités telles que :
On habituera ainsi les élèves à écrire un nombre sous la forme la mieux adaptée au problème posé.
3. Équations et inéquations du premier degré Ordre et multiplication
Inéquation du premier degré à une inconnue
Système de deux équations à deux inconnues
Résolution de problèmes du premier degré ou s'y ramenant		 Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une droite graduée. Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. Résoudre une équation mise sous la forme A . B = 0, où A et B désignent deux expressions du premier degré de la même variable.
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation ou un système de deux équations du premier degré 		On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.Pour l'interprétation graphique, on utilisera la représentation des fonctions affines. L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de deux expressions du premier ordre de la même variable est, elle, hors programme. Les problèmes sont issus des différentes parties du programme. comme en classe de 4e, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l'équation et interprétation du résultat.
4. Nombres entiers et rationnels
Diviseurs communs à deux entiers
Fractions irréductibles		 Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.
Savoir qu'une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.		 Cette partie d'arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressantes tant du point de vue de l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.
Depuis la classe de 5e, les élèves ont pris l'habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux multiples d'un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d'Euclide ou un autre, qui, donnant le PGCD de deux nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et les logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit. À côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme p et . On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de . Une telle étude peut également être mise à profit pour bien distinguer le calcul exact et le calcul approché.



ACTIVITES GEOMETRIQUES :

CONTENU
COMPÉTENCES EXIGIBLES
COMMENTAIRES
1. Géométrie dans l'espaceProblèmes de sections planes de solides Savoir que la section d'une sphère par un plan est un cercle.
Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.
Représenter une sphère et certains de ses grands cercles.
Connaître la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête.
Connaître la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
Représenter et déterminer les sections d'un cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base.		 On mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralement opposés. On examinera le cas particulier où le plan est tangent à la sphère.
On fera le rapprochement avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives aux méridiens et parallèles.
Des manipulations préalables (sections de solides en polystyrène par exemple) permettent de conjecturer ou d'illustrer la nature des sections planes étudiées.
Ce sera une occasion de faire des calculs de longueur et d'utiliser les propriétés rencontrées dans d'autres rubriques ou les années antérieures.
À propos de pyramides, les activités se limiteront à celles dont la hauteur est une arête latérale et aux pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs.
2. Triangle rectangle :
Relations trigonométriques,
distance de deux points dans un repère orthonormé du plan.
 Connaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle.
Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :
- du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle aigu donné,
- de l'angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.
Le plan étant muni d'un repère orthonormé, calculer la distance de deux points dont on donne les coordonnées.
 La définition du cosinus a été vue en 4e.
Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique.
On établira les formules : cos² x + sin² x = 1 et tan x = sin x / cos x.
On n'utilisera pas d'autre unité que le degré décimal.
Le calcul de la distance de deux points se fera en référence au théorème de Pythagore, de façon à visualiser ce que représentent différence des abscisses et différence des ordonnées.
3. Propriété de Thalès Connaître et utiliser dans une situation donnée les deux théorèmes suivants : - Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d, distincts de A. Soient C et N deux points de d', distincts de A. Si les droites (BC) et (CN) sont parallèles, alors :
AM/AB = AN/AC= MN/BC. - Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d, distincts de A. Soient C et N deux points de d', distincts de A. Si AM/AB = AN/AC et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
 Il s'agit d'un prolongement de l'étude faite en classe de 4e.
L'étude de la propriété de Thalès est l'occasion de traiter des situations de proportionnalité dans le cadre géométrique du plan et de l'espace. La réciproque est formulée en tenant compte de l'ordre relatif des points sur chaque droite.
L'utilisation d'un logiciel de construction géométrique peut permettre de créer des situations reliées au théorème de Thalès, notamment lors des activités d'approche de la propriété par la mise en évidence de la conservation des rapports.
Le travail de construction de points définis par des rapports de longueurs permet de mettre en évidence l'importance de la position relative de ces points sur la droite. On s'intéressera particulièrement au problème suivant : étant donné deux points A et B, construire les points C de la droite (AB) sachant que le rapport CA/CB a une valeur donnée sous forme de quotient d'entiers.
4. Vecteurs et translations
Égalité vectorielle

Composition de deux translations;

somme de deux vecteurs.


Coordonnées d'un vecteur dans le plan muni d'un repère.

Composition de deux symétries centrales.		 Connaître et utiliser l'écriture vectorielle pour exprimer que la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D.Lier cette écriture vectorielle au parallélogramme ABCD éventuellement aplati.
Utiliser l'égalité et la relier à la composée de deux translations.
Construire un représentant du vecteur somme à l'aide d'un parallélogramme. Lire sur un graphique les coordonnées d'un vecteur.
Représenter, dans le plan muni d'un repère, un vecteur dont on donne les coordonnées. Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des extrémités de l'un quelconque de ses représentants.
Calculer les coordonnées du milieu d'un segment. Savoir que l'image d'une figure par deux symétries centrales successives de centres différents est aussi l'image de cette figure par une translation.
Connaître le vecteur de la translation composée de deux symétries centrales. 		Cette rubrique prend en compte les acquis du cycle central sur les parallélogrammes et sur la translation. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans les couples (A, A'), (B, B'), (C, C')… de points homologues par une même translation, d'un même objet nommé vecteur.
On écrira L'un des objectifs est que les élèves se représentent un vecteur à partir d'une direction, d'un sens et d'une longueur. On mettra en évidence la caractérisation d'une égalité vectorielle à l'aide de milieux de [AD] et [BC] :
Si alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors on a Des activités de construction conduiront à l'idée que la composée de deux translations est une translation. À partir de ce résultat, à établir ou admettre, on définira la somme de deux vecteurs. On introduira le vecteur nul ainsi que l'opposé d'un vecteur. Aucune compétence n'est exigible des élèves sur l'égalité vectorielle ni, plus généralement, sur la soustraction vectorielle. Les coordonnées d'un vecteur seront introduites à partir de la composition de deux translations selon les axes. Des activités de construction permettront de conjecturer le résultat de composition de deux symétries centrales. La démonstration sera l'occasion de revoir la configuration des milieux dans un triangle.
On pourra utiliser, pour sa commodité, la notation
Tout commentaire sur le produit d'un vecteur par un entier est hors programme, ainsi que la notation "o" pour désigner la composée.
5. Rotation, angles, polygones réguliers
Images de figures par une rotation		 Construire l'image par une rotation donnée d'un point, d'un cercle, d'une droite, d'un segment et d'une demi-droite. Les activités porteront d'abord sur un travail expérimental permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures à partir desquelles seront dégagées des propriétés d'une rotation (conservation des longueurs, des alignements, des angles, des aires).
Ces propriétés pourront être utilisées dans la résolution d'exercices simples de construction. Dans des pavages on rencontrera des figures invariantes par rotation.
Les configurations rencontrées permettent d'utiliser les connaissances sur les cercles, les tangentes, le calcul trigonométrique...
Polygones réguliers Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier connaissant son centre et un sommet. Les activités sur les polygones réguliers, notamment leur tracé à partir d'un côté, porteront sur le triangle équilatéral, le carré, l'hexagone et éventuellement l'octogone. Certaines d'entre elles pourront conduire à utiliser la propriété de l'angle inscrit. Les activités de recherche de transformations laissant invariant un triangle équilatéral ou un carré sont l'occasion de revenir sur les transformations étudiées au collège.
Angle inscrit Comparer un angle inscrit et l'angle au centre qui intercepte le même arc.
 On généralise le résultat relatif à l'angle droit, établi en classe de quatrième. Cette comparaison permet celle de deux angles inscrits interceptant le même arc, mais la recherche de l'ensemble des points du plan d'où l'on voit un segment sous un angle donné, autre qu'un angle droit, est hors programme.


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