Programme de quatrieme :


ACTIVITES NUMERIQUES :


CONTENU
COMPÉTENCES EXIGIBLES
COMMENTAIRES
1. Nombres et calcul numérique
Opérations (+, - , ´, :) sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire (non nécessairement simplifiée).
 Calculer le produit de nombres relatifs simples dans les différents cas de signe qui peuvent se présenter.
 Toute étude théorique des propriétés des opérations est exclue.
Les élèves ont la pratique de l’utilisation de la multiplication des nombres positifs en écriture décimale ou fractionnaire. En s’appuyant sur ces connaissances, les opérations seront étendues au cas des nombres relatifs. Les justifications pourront être limitées à l’observation de l’extension de tables de multiplication ou à la généralisation de règles provenant de l’addition de nombres (par exemple 3 ´ (-2) = -2 - 2 - 2 = -6) en admettant les résultats dans les autres cas.
Savoir que a/b = a ´ 1/b .
Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).
Utiliser sur des exemples numériques les égalités :		 Un travail sera conduit sur la notion d’inverse d’un nombre non nul, les notations x-1 ou 1/x et l’usage de calculatrices avec la touche correspondante. À cette occasion, on remarquera que diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.
où a, b, c et d sont des nombres décimaux relatifs.
Calculer la somme de nombres relatifs en écriture fractionnaire. L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire peut demander un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers. La recherche du plus petit commun multiple pour l’obtention d’un dénominateur commun et celle du plus grand diviseur commun pour l’obtention de la forme irréductible ne sont pas exigibles.
Puissances d’exposant entier relatif. Utiliser sur des exemples numériques, avec ou sans calculatrice scientifique, les égalités :
10m ´ 10n = 10m+n
; 1/10n = 10-n; (10m)n = 10mn
où m et n sont des entiers relatifs.v		 En liaison avec la physique, les activités insisteront sur l’usage des puissances de dix. Les calculatrices seront largement utilisées. Les élèves doivent maîtriser l’usage des touches correspondantes de leur calculatrice.
Notation scientifique des nombres décimaux. Ordre de grandeur d’un résultat.
 Sur des exemples numériques, écrire un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de 10.
Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur.
Utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples des égalités telles que :
a2 ´ a3 = a5 ; a2 / a5 = a-3; (ab)2 = a2b2,
où a et b sont des nombres relatifs non nuls.		 Modifier l’écriture d’un nombre comme 25 698,236 sous la forme 2,5698236 ´ 104 ou 25 698 236 ´ 10-2 ou 25,698236 ´ 103 est une activité que doivent pratiquer les élèves. La notation ingénieur n’est pas exigible. Cette rubrique ne doit pas donner lieu à des calculs artificiels sur les puissances entières d’un nombre relatif. Pour des nombres autres que 10, on s’en tiendra au cas d’exposants simples.
Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes. À la suite du travail commencé en 5e avec des nombres décimaux positifs, les élèves seront entraînés aux mêmes types de calculs avec des nombres relatifs. Ils seront ainsi progressivement familiarisés à l’usage des priorités opératoires intervenant dans les conventions usuelles d’écritures ainsi qu’à la gestion d’un programme de calcul utilisant des parenthèses.
Touche de la calculatrice.
 Trouver à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre positif.
 Le théorème de Pythagore fournit l’occasion de calculer des racines carrées de nombres positifs dans des cas qui relèvent d’une situation où le nombre calculé a une signification que l’élève peut identifier. On peut aussi rattacher le calcul d’une racine carrée à des problèmes où interviennent l’aire d’un carré et la mesure de son côté.
2. Calcul littéral Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x - ( 4x - 2), 2x2 - 3x + x2 … L’apprentissage du calcul littéral doit être conduit très progressivement en recherchant des situations qui permettent aux élèves de donner du sens à l’introduction de ce type de calcul. Le travail proposé s’articule sur deux axes : - utilisation d’expressions littérales pour des calculs numériques - utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes divers. Les situations proposées aux élèves doivent exclure tout type de virtuosité et répondre chaque fois à un objectif précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique). On évitera en particulier les expressions à plusieurs variables introduites a priori.
Développement. Sur des exemples numériques ou littéraux, développer une expression du type (a + b)(c + d). Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. Les activités de développement poursuivent celles de 5e en utilisant l’identité k(a + b) = ka + kb. L’introduction progressive des lettres et des nombres relatifs s’intégrant aux expressions algébriques représente une difficulté importante qui doit être prise en compte. À cette occasion, le test d’une égalité par substitution de valeurs numériques aux lettres prendra tout son intérêt.
Le développement de certaines expressions du type (a + b)(c + d) peut conduire à des simplifications d’écriture, mais les identités remarquables ne sont pas au programme. L’objectif est d’apprendre aux élèves à développer pas à pas ce type d’expression en une somme de termes.
La factorisation d’expressions analogues à x (3x + 4) - 5(3x + 4) n’est pas au programme.
Effet de l’addition et de la multiplication sur l’ordre. Applications. Comparer deux nombres relatifs simples en écriture décimale ou fractionnaire.
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme a + b et a + c sont rangés dans le même ordre que b et c.
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont rangés dans le même ordre que b et c si a est strictement positif. Ecrire des encadrements résultant de la troncature ou de l’arrondi à un rang donné d’un nombre positif en écriture décimale ou provenant de l’affichage d’un résultat sur une calculatrice (quotient, racine carrée...).
 À partir d’une interprétation graphique, on introduira le critère relatif au signe de la différence. Aucune connaissance n’est exigible lorsque a est négatif, mais ce cas sera évoqué pour montrer la nécessité de la condition a > 0 dans l’énoncé de la propriété envisagée.
Résolution de problèmes conduisant à des équations du premier degré à une inconnue.
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.
 Les problèmes issus d’autres parties du programme conduisent à l’introduction d’équations et à leur résolution. On dégagera chaque fois sur des problèmes particuliers les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation du résultat.
Tous les problèmes aboutissant à des équations produits, du type (x - 2)(2x - 3) = 0, sont hors programme.

ACTIVITES GEOMETRIQUES :

CONTENU
COMPÉTENCES EXIGIBLES
COMMENTAIRES
1. Triangles
Milieux et parallèles 		Connaître et utiliser les théorèmes suivants relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle :
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième.
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième en son milieu.
Dans un triangle la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. 		La symétrie centrale et les propriétés caractéristiques du parallélogramme permettent de démontrer ces théorèmes.
Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes.
 Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes :
Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à [BC], alors AM/AB = AN/AC = MN/BC
 L’égalité des trois rapports sera admise après d'éventuelles études dans des cas particuliers.
Elle s'étend bien sûr au cas où M et N appartiennent respectivement aux demi-droites [AB) et [AC), mais on n'examinera pas le cas où les demi-droites [AM) et [AB), de même que les demi-droites [AN) et [AC), sont opposées.
Le théorème de Thalès dans toute sa généralité ainsi que sa réciproque seront étudiés en classe de 3e.
Droites remarquables d’un triangle
 Construire les bissectrices, les hauteurs, les médianes, les médiatrices d’un triangle ; en connaître une définition et savoir qu’elles sont concourantes.
 Certaines de ces propriétés de concours pourront être démontrées ; ce sera l’occasion de mettre en œuvre les connaissances de la classe ou celles de 5e.
On pourra étudier la position du point de concours de la médiane sur chacune d’elles.
2. Triangle rectangle et cercle
Cercle circonscrit, théorème de Pythagore et sa réciproque.
Caractériser le triangle rectangle :
- par son inscription dans un demi-cercle,
- par la propriété de Pythagore et sa réciproque.
Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
En donner, s'il y a lieu, une valeur approchée, en faisant éventuellement usage de la touche racine d’une calculatrice,
Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit.
 On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l’aide d’énoncés séparés. Les relations métriques dans le triangle rectangle, autres que celles mentionnées dans les compétences exigibles, ne sont pas au programme.
Tangente ; distance d'un point à une droite.
 Construire la tangente à un cercle en l'un de ses points.
Savoir que le point d'une droite le plus proche d'un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite.
Le problème d'intersection d'un cercle et d'une droite fera l'objet d'activités, sans pour autant que l'énoncé du résultat général soit une compétence exigible. L'inégalité triangulaire et la symétrie axiale, vues en classe de 5e, permettent de démontrer le résultat relatif à la distance d'un point à une droite, lequel peut aussi être relié au théorème de Pythagore.
Cosinus d’un angle.
 Utiliser, pour un triangle rectangle, la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des deux côtés adjacents.


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